Замечание. В условии есть опечатки, поэтому я предполагаю, что нужно рассмотреть уравнение

sin 3x + sin x = t

Решение (пошагово).

1. Применим формулу суммы синусов:

   sin 3x + sin x = 2 sin((3x + x)/2) cos((3x - x)/2) = 2 sin 2x cos x.

2. Выразим sin 2x через sin x и cos x:

   sin 2x = 2 sin x cos x, поэтому

   sin 3x + sin x = 2 (2 sin x cos x) cos x = 4 sin x cos^2 x.

   Итого уравнение принимается в виде 4 sin x cos^2 x = t.

3. Пусть s = sin x. Тогда cos^2 x = 1 - s^2, и уравнение превращается в алгебраическое:

   f(s) = 4 s (1 - s^2) = t,

   или 4s - 4s^3 - t = 0, где s ∈ [−1, 1].

4. Найдём допустимый диапазон значений t (образ множества значений функции f на отрезке [−1,1]). Найдём критические точки:

   f'(s) = 4 - 12 s^2. При f'(s) = 0 => s^2 = 1/3 => s = ±1/√3.

   Вычислим значения f в критических точках: f(1/√3) = 4*(1/√3)*(1 - 1/3) = 4/√3 * 2/3 = 8/(3√3) = 8√3/9. Аналогично f(−1/√3) = −8√3/9.

   Также проверим концы отрезка: f(1)=0, f(−1)=0.

   Следовательно, функция достигает максимума 8√3/9 и минимума −8√3/9 на [−1,1].

5. Вывод по уравнению:
   • Если |t| > 8√3/9, решений нет (на реальных x уравнение не имеет корней).
   • Если |t| ≤ 8√3/9, то существуют решения. Для каждого допустимого значения t нужно решить алгебраическое уравнение 4s - 4s^3 = t в переменной s ∈ [−1,1], а затем найти x из sin x = s (учитывая периодичность).
   • Замечание о количестве решений на интервале [0, 2π): в общем случае может быть до 6 значений x (каждое допустимое значение s в (−1,1) даёт по два значения x в одном периоде; при s = ±1 даётся по одному значению и т.д.).

Кратно. Уравнение эквивалентно 4 sin x cos^2 x = t. Допустимые значения правой части: t ∈ [−8√3/9, 8√3/9]. Если нужно — могу дальше подробно решить уравнение для конкретного значения t.