Задача 4

Давайте решим первую часть задачи, а именно найдем длины сторон прямоугольного параллелепипеда.

1. Измерения параллелепипеда относятся как 3:5:7. Обозначим стороны параллелепипеда как 3x, 5x и 7x, где x - коэффициент пропорциональности.

2. По формуле для диагонали прямоугольного параллелепипеда, мы знаем, что:

диагональ = √(a² + b² + c²),

где a, b и c - длины сторон параллелепипеда.

3. Подставим наши значения:

• Диагональ = 2√83 см
• Стороны: a = 3x, b = 5x, c = 7x.

Таким образом, у нас получится:

2√83 = √((3x)² + (5x)² + (7x)²).

4. Теперь упростим выражение:

• (3x)² = 9x²
• (5x)² = 25x²
• (7x)² = 49x²

5. Сложим все вместе:

2√83 = √(9x² + 25x² + 49x²) = √(83x²).

6. Теперь упростим:

2√83 = √(83)x.

7. Возведем обе стороны в квадрат:

4 * 83 = 83x².

8. Упростим это уравнение:

332 = 83x².

9. Разделим обе стороны на 83:

x² = 4.

10. Извлечем корень:

x = 2.

11. Теперь подставим x обратно в выражения для сторон:

• a = 3x = 3 * 2 = 6 см
• b = 5x = 5 * 2 = 10 см
• c = 7x = 7 * 2 = 14 см

Ответ для части (a): Длины сторон параллелепипеда: 6 см, 10 см, 14 см.

Теперь перейдем ко второй части задачи и вычислим площадь полной поверхности параллелепипеда.

1. Площадь полной поверхности параллелепипеда вычисляется по формуле:

Площадь = 2(ab + ac + bc),

где a, b и c - длины сторон.

2. Подставим наши значения:

• a = 6 см
• b = 10 см
• c = 14 см

3. Вычислим:

• ab = 6 * 10 = 60 см²
• ac = 6 * 14 = 84 см²
• bc = 10 * 14 = 140 см²

4. Сложим эти значения:

ab + ac + bc = 60 + 84 + 140 = 284 см².

5. Теперь умножим на 2:

Площадь = 2 * 284 = 568 см².

Ответ для части (b): Площадь полной поверхности параллелепипеда: 568 см².

Задача 5

Теперь давайте решим задачу о пирамиде с треугольным основанием.

1. В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 13 см, 14 см и 15 см. Сначала найдем площадь основания (треугольника) с помощью формулы Герона.

2. Сначала найдем полупериметр:

s = (a + b + c) / 2 = (13 + 14 + 15) / 2 = 21 см.

3. Теперь найдем площадь треугольника:

Площадь = √(s * (s - a) * (s - b) * (s - c)).

Подставим значения:

Площадь = √(21 * (21 - 13) * (21 - 14) * (21 - 15)) = √(21 * 8 * 7 * 6).

4. Упрощаем:

21 * 8 = 168, 168 * 7 = 1176, 1176 * 6 = 7056.

Площадь = √7056 = 84 см².

5. Теперь, чтобы найти площадь боковой поверхности пирамиды, нам нужно вычислить площадь каждой боковой грани. Боковые грани наклонены под углом 30° к плоскости основания.

6. Площадь боковой грани можно найти как (1/2) * основание * высота. Основание боковой грани - это сторона треугольника, а высота - это высота боковой грани, которую можно найти по формуле h = a * sin(30°), где a - длина стороны треугольника.

7. Рассмотрим каждую сторону треугольника:

• Для стороны 13 см: h1 = 13 * sin(30°) = 13 * 0.5 = 6.5 см.
• Для стороны 14 см: h2 = 14 * sin(30°) = 14 * 0.5 = 7 см.
• Для стороны 15 см: h3 = 15 * sin(30°) = 15 * 0.5 = 7.5 см.

8. Теперь найдем площади боковых граней:

• Площадь боковой грани для стороны 13 см: (1/2) * 13 * 6.5 = 42.25 см².
• Площадь боковой грани для стороны 14 см: (1/2) * 14 * 7 = 49 см².
• Площадь боковой грани для стороны 15 см: (1/2) * 15 * 7.5 = 56.25 см².

9. Сложим все площади боковых граней:

Площадь боковой поверхности = 42.25 + 49 + 56.25 = 147.5 см².

Ответ для задачи 5: Площадь боковой поверхности пирамиды: 147.5 см².