8. Решение уравнения 4sin2x - sin2x = 2cos2x.

Начнем с упрощения уравнения:

• Объединим подобные слагаемые: 4sin2x - sin2x = 3sin2x.
• Теперь у нас получается: 3sin2x = 2cos2x.

Далее, мы можем выразить cos2x через sin2x, используя основное тригонометрическое тождество:

• cos2x = √(1 - sin²2x).

Подставим это в уравнение:

• 3sin2x = 2√(1 - sin²2x).

Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

• (3sin2x)² = (2√(1 - sin²2x))².
• 9sin²2x = 4(1 - sin²2x).

Раскроем скобки и соберем все слагаемые в одну сторону:

• 9sin²2x + 4sin²2x - 4 = 0.
• 13sin²2x - 4 = 0.

Теперь выразим sin²2x:

• 13sin²2x = 4.
• sin²2x = 4/13.

Теперь найдем sin2x:

• sin2x = ±√(4/13) = ±2/√13.

Теперь мы можем найти 2x:

• 2x = arcsin(2/√13) + kπ, где k - целое число.
• или 2x = π - arcsin(2/√13) + kπ.

Разделим на 2, чтобы найти x:

• x = (1/2)arcsin(2/√13) + kπ/2,
• или x = (1/2)(π - arcsin(2/√13)) + kπ/2.

Таким образом, мы нашли все решения уравнения.

9. Значение выражения ctg(2arcsin(13)).

Для решения этого выражения нам нужно воспользоваться тригонометрическими тождествами.

Сначала найдем sin(2α), где α = arcsin(13):

• sin(2α) = 2sin(α)cos(α).

Так как sin(α) = 13, мы можем найти cos(α) по теореме Пифагора:

• cos(α) = √(1 - sin²(α)) = √(1 - 13²) = √(1 - 169) = √(-168),

Здесь мы видим, что значение cos(α) не может быть найдено, так как оно получается отрицательным. Таким образом, выражение ctg(2arcsin(13)) не имеет смысла, так как синус не может быть больше 1.

10. Абсциссы точек пересечения графиков функций y=√3sinx + cosx и y=-2.

Для нахождения точек пересечения этих функций, приравняем их:

• √3sinx + cosx = -2.

Теперь мы можем выразить cosx через sinx, используя основное тригонометрическое тождество:

• cosx = -2 - √3sinx.

Подставим это значение в уравнение cos²x + sin²x = 1:

• (-2 - √3sinx)² + sin²x = 1.

Раскроем скобки:

• (4 + 4√3sinx + 3sin²x) + sin²x = 1.
• 4 + 4√3sinx + 4sin²x - 1 = 0.
• 4sin²x + 4√3sinx + 3 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение:

• sin²x + √3sinx + 3/4 = 0.

Используем дискриминант:

• D = (√3)² - 4*1*(3/4) = 3 - 3 = 0.

Так как дискриминант равен нулю, у нас есть одно решение:

• sinx = -√3/2.

Теперь найдем x:

• x = arcsin(-√3/2) = -π/3 + 2kπ, где k - целое число.
• Также есть еще одно значение: x = 4π/3 + 2kπ.

Таким образом, абсциссы точек пересечения будут: x = -π/3 + 2kπ и x = 4π/3 + 2kπ.