Для решения уравнения 3cos(2x) - 5sin(x) + 1 = 0 начнем с преобразования функции cos(2x) с помощью тригонометрической формулы:

• cos(2x) = 1 - 2sin²(x).

Подставим это в уравнение:

3(1 - 2sin²(x)) - 5sin(x) + 1 = 0.

Теперь раскроем скобки:

• 3 - 6sin²(x) - 5sin(x) + 1 = 0.

Соберем все члены в одном уравнении:

-6sin²(x) - 5sin(x) + 4 = 0.

Умножим уравнение на -1 для удобства:

6sin²(x) + 5sin(x) - 4 = 0.

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно y = sin(x). Используем формулу для решения квадратного уравнения:

y = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где:

• a = 6,
• b = 5,
• c = -4.

Теперь подставим значения:

D = b² - 4ac = 5² - 4 * 6 * (-4) = 25 + 96 = 121.

Так как D > 0, у уравнения два различных корня:

y1 = (-5 + √121) / (2 * 6) = (-5 + 11) / 12 = 6 / 12 = 1/2,

y2 = (-5 - √121) / (2 * 6) = (-5 - 11) / 12 = -16 / 12 = -4/3.

Теперь найдем значения sin(x). Поскольку y2 = -4/3 не может быть значением синуса (поскольку синус принимает значения только от -1 до 1), оставим только y1 = 1/2.

Теперь решим уравнение sin(x) = 1/2. Это уравнение имеет следующие решения:

• x = π/6 + 2kπ,
• x = 5π/6 + 2kπ,

где k - любое целое число. Теперь найдем все корни на отрезке [π; 5π/2].

Подставим k = 0:

• x = π/6 (не подходит, так как меньше π),
• x = 5π/6 (не подходит, так как меньше π).

Теперь подставим k = 1:

• x = π/6 + 2π = 13π/6 (подходит, так как 13π/6 находится между π и 5π/2),
• x = 5π/6 + 2π = 17π/6 (подходит, так как 17π/6 находится между π и 5π/2).

Теперь проверим, есть ли еще корни, подставив k = 2:

• x = π/6 + 4π = 25π/6 (не подходит, так как больше 5π/2),
• x = 5π/6 + 4π = 29π/6 (не подходит, так как больше 5π/2).

Таким образом, все корни уравнения 3cos(2x) - 5sin(x) + 1 = 0 на отрезке [π; 5π/2]:

• x = 13π/6,
• x = 17π/6.