Через точку А окружности с центром О проведена касательная АВ. Как можно вычислить радиус окружности, если длина отрезка ОВ составляет 6, а угол АОВ равен 60 градусов?

Алгебра 10 класс Касательные и радиусы окружности радиус окружности угол АОВ длина отрезка ОВ касательная к окружности задача по алгебре геометрия окружности Новый

Чтобы найти радиус окружности, давайте разберем задачу шаг за шагом.

У нас есть окружность с центром O и касательная AB, проведенная через точку A. Из геометрии известно, что касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Это значит, что угол OAB равен 90 градусов.

Теперь у нас есть треугольник OAB, в котором:

• ОВ = 6 (длина отрезка от центра окружности до точки касания);
• Угол AOV = 60 градусов;
• Угол OAB = 90 градусов.

Так как мы знаем два угла в треугольнике OAB, мы можем найти третий угол:

• Угол OAB = 90 градусов;
• Угол AOV = 60 градусов;
• Угол AOB = 180 - 90 - 60 = 30 градусов.

Теперь у нас есть треугольник OAB с известными углами и длиной одной стороны (ОВ). Мы можем использовать синус для нахождения радиуса OA (радиус окружности), который нам нужен.

По определению синуса:

• sin(угол) = противолежащая сторона / гипотенуза.

В нашем случае:

• sin(30 градусов) = AB / OВ.

Мы знаем, что sin(30 градусов) = 0.5, и подставим это в уравнение:

• 0.5 = AB / 6.

Теперь решим это уравнение для AB:

• AB = 0.5 * 6 = 3.

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике OAB для нахождения радиуса OA:

• OA^2 + AB^2 = OВ^2.

Подставим известные значения:

• OA^2 + 3^2 = 6^2;
• OA^2 + 9 = 36;
• OA^2 = 36 - 9;
• OA^2 = 27;
• OA = √27 = 3√3.

Таким образом, радиус окружности OA составляет 3√3.

Ответ: радиус окружности равен 3√3.