1.

Найдём наибольшее и наименьшее значения функции $y = f(x)$ на отрезке $[-2; 1]$.

$f(x) = \frac{1}{2}^x + 1$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на заданном отрезке найдём её производную, приравняем к нулю и решим полученное уравнение. Затем найдём значения функции в точках экстремума и на концах отрезка. Наибольшее значение будет являться максимумом функции, а наименьшее — минимумом.

$y' = (\frac{1}{2})^x * ln \frac{1}{2}$.

Приравняем производную к нулю:

$(\frac{1}{2})^x * ln \frac{1}{2} = 0$.

Так как $(\frac{1}{2})^x ≠ 0$, то $ln \frac{1}{2} = 0$ — не имеет решений. Следовательно, точек экстремумов у данной функции нет.

Теперь найдём значение функции на концах заданного отрезка:

• $x = -2$, $f(-2) = (\frac{1}{2})^{-2} + 1 = 4 + 1 = 5$;
• $x = 1$, $f(1) = (\frac{1}{2}) + 1 = \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2}$;

Ответ: наибольшее значение функции равно 5, наименьшее значение — $\frac{5}{2}$.

2.

Функция $y = f(x)$ принимает наибольшее значение, равное 17, и наименьшее значение, равное 3, на отрезке $x ∈ [-4; -1]$.

Подставим в функцию $y = \frac{1}{2}^x + 1$ вместо $y$ число 17 и решим получившееся уравнение:

$\frac{1}{2}^x + 1 = 17$,

$\frac{1}{2}^x = 16$,

$\frac{1}{2}^x = (\frac{1}{2})^{-4}$,

$x = -4$.

Аналогично найдём наименьшее значение функции:

$\frac{1}{2}^x + 1 = 3$,

$\frac{1}{2}^x = 2$,

$\frac{1}{2}^x = (\frac{1}{2})^{-1}$,

$x = -1$.

Следовательно, функция принимает наибольшее значение при $x = -4$, а наименьшее — при $x = -1$. Так как функция непрерывна на всей числовой прямой, то она также принимает все промежуточные значения из отрезка $[-4; -1]$ (в том числе и значение 17).

Ответ: $x ∈ [-4; -1]$.

3.

Решим уравнение $f(x) = 3x + 6$.

$3x + 6 = \frac{1}{2}^x + 1$,

$\frac{1}{2}^x = 3x + 5$,

$y_1 = \frac{1}{2}^x$, $y_2 = 3x + 5$.

Построим графики функций $y_1$ и $y_2$ в одной системе координат. Графиком функции $y_1$ является ветвь параболы, графиком функции $y_2$ — прямая. Абсцисса точки пересечения графиков и будет решением уравнения.

Точное решение уравнения найти невозможно, но можно сделать оценку:

• так как $3x + 5 < \frac{1}{2}^x$ при $x > 0$, то график функции $y_2$ всегда будет располагаться ниже графика функции $y_1$, следовательно, графики не пересекаются;
• при $x < 0$ график функции $y_2$ будет находиться выше графика функции $y_1$. Следовательно, уравнение имеет корень, который находится в промежутке $(-∞; 0)$.

Можно сделать вывод, что уравнение имеет один корень, приблизительно равный -0,75.

Ответ: x ≈ -0,75.