Как найти четыре числа, которые образуют пропорцию, если известно, что сумма крайних членов равна 14, сумма средних членов равна 11, а сумма квадратов этих четырех чисел равна 221?

Алгебра 10 класс Пропорции и системы уравнений пропорция четыре числа сумма крайних членов сумма средних членов сумма квадратов алгебра 10 класс решение задачи математическая пропорция система уравнений поиск чисел Новый

Чтобы найти четыре числа, которые образуют пропорцию, обозначим их как a, b, c и d. В пропорции a/b = c/d, крайние члены – это a и d, а средние члены – b и c. Из условия задачи у нас есть три уравнения:

1. Сумма крайних членов: a + d = 14
2. Сумма средних членов: b + c = 11
3. Сумма квадратов: a² + b² + c² + d² = 221

Теперь давайте выразим d и c через a и b:

• Из первого уравнения: d = 14 - a
• Из второго уравнения: c = 11 - b

Теперь подставим d и c в третье уравнение:

a² + b² + (11 - b)² + (14 - a)² = 221

Раскроем скобки:

• (11 - b)² = 121 - 22b + b²
• (14 - a)² = 196 - 28a + a²

Теперь подставим эти выражения в уравнение:

a² + b² + (121 - 22b + b²) + (196 - 28a + a²) = 221

Объединим все части:

2a² + 2b² - 28a - 22b + 317 = 221

Упростим уравнение:

2a² + 2b² - 28a - 22b + 96 = 0

Разделим всё уравнение на 2:

a² + b² - 14a - 11b + 48 = 0

Теперь мы можем выразить b через a, используя метод подбора или систему уравнений. Для этого преобразуем уравнение:

b² - 11b + (a² - 14a + 48) = 0

Это квадратное уравнение относительно b. Используем дискриминант:

D = (-11)² - 4 * 1 * (a² - 14a + 48)

D = 121 - 4(a² - 14a + 48)

Теперь упростим D:

D = 121 - 4a² + 56a - 192

D = -4a² + 56a - 71

Чтобы уравнение имело решения, дискриминант D должен быть неотрицательным:

-4a² + 56a - 71 >= 0

Решим это неравенство, найдя корни уравнения:

4a² - 56a + 71 = 0

Используем дискриминант:

D = 56² - 4 * 4 * 71 = 3136 - 1136 = 2000

Корни: a = (56 ± √2000) / 8

Теперь, когда мы найдём a, мы можем подставить его значение обратно, чтобы найти b, c и d. После подстановки мы получим все четыре числа, которые образуют пропорцию.

Таким образом, следуя этим шагам, мы можем найти искомые числа.