Как найти естественную область определения следующих функций?

1. y = 12 / (3x² + 5x - 2)
2. y = 2 / √(6x² + 48)

Алгебра 10 класс Область определения функции естественная область определения функции алгебра 10 класс нахождение области определения дробно-рациональные функции корень из выражения Новый

Чтобы найти естественную область определения функций, нам нужно определить, при каких значениях переменной x функция будет определена. Рассмотрим каждую функцию по отдельности.

1. Функция y = 12 / (3x² + 5x - 2)

В этой функции дробь определена, когда знаменатель не равен нулю. Поэтому нам нужно решить неравенство:

• 3x² + 5x - 2 ≠ 0

Сначала найдем корни квадратного уравнения 3x² + 5x - 2 = 0 с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b² - 4ac = 5² - 4 * 3 * (-2) = 25 + 24 = 49

Теперь находим корни:

• x₁ = (-b + √D) / (2a) = (-5 + 7) / 6 = 2/6 = 1/3
• x₂ = (-b - √D) / (2a) = (-5 - 7) / 6 = -12/6 = -2

Значит, у нас есть два корня: x₁ = 1/3 и x₂ = -2. Теперь мы знаем, что функция не определена в точках x = 1/3 и x = -2. Таким образом, естественная область определения функции y = 12 / (3x² + 5x - 2) будет:

• x ∈ (-∞, -2) ∪ (-2, 1/3) ∪ (1/3, +∞)

2. Функция y = 2 / √(6x² + 48)

В этой функции мы должны учитывать, что подкоренное выражение должно быть больше нуля, так как мы не можем извлекать квадратный корень из отрицательных чисел и делить на ноль. Поэтому решим неравенство:

• 6x² + 48 > 0

Заметим, что 6x² + 48 всегда положительно, так как 6x² ≥ 0 для всех x, а 48 > 0. Таким образом, это неравенство выполняется для всех значений x:

• x ∈ (-∞, +∞)

Теперь мы можем подвести итог:

Естественные области определения:

• Для функции y = 12 / (3x² + 5x - 2): x ∈ (-∞, -2) ∪ (-2, 1/3) ∪ (1/3, +∞)
• Для функции y = 2 / √(6x² + 48): x ∈ (-∞, +∞)