Чтобы решить данные неравенства, давайте разберем каждое из них по отдельности.

Начнем с первого неравенства:

• Сначала упростим неравенство, разделив обе стороны на 3:
• sin(x/4) ≥ 2/3.

Теперь нам нужно найти, для каких значений x выполняется данное неравенство. Для этого найдем арксинус:

• x/4 = arcsin(2/3).
• Так как синус – это периодическая функция, нужно учесть, что sin(x) = sin(π - x) также будет давать те же значения.
• Следовательно, у нас есть два решения в пределах одного периода: x/4 = arcsin(2/3) и x/4 = π - arcsin(2/3).

Теперь выразим x:

• x = 4 * arcsin(2/3) + 8kπ, где k – любое целое число.
• x = 4 * (π - arcsin(2/3)) + 8kπ.

Теперь нужно найти интервал, в котором sin(x/4) ≥ 2/3:

• Поскольку синус положителен в первой и второй четвертях, мы можем записать:
• arcsin(2/3) ≤ x/4 ≤ π - arcsin(2/3).

Умножим все части на 4:

• 4 * arcsin(2/3) ≤ x ≤ 4 * (π - arcsin(2/3)).

Таким образом, решение первого неравенства:

Теперь перейдем ко второму неравенству:

• Сначала упростим его, разделив обе стороны на √3:
• cot(π/4 - 2x) > 1/√3.

Зная, что cot(θ) = 1/tan(θ), можем переписать неравенство:

• cot(π/4 - 2x) > 1/√3.

Теперь найдем, для каких углов cot(θ) больше 1/√3. Это происходит, когда угол θ находится в интервале:

• cot(θ) = 1/√3 при θ = π/6 и θ = 7π/6.
• Следовательно, cot(θ) > 1/√3, когда θ ∈ (π/6; 7π/6).

Теперь подставим θ = π/4 - 2x:

• π/6 < π/4 - 2x < 7π/6.

Решим каждое из неравенств:

• 1. π/6 < π/4 - 2x:
• 2x < π/4 - π/6;
• 2x < (3π - 2π)/12;
• x < (π/12)/2;
• x < π/24.
• 2. π/4 - 2x < 7π/6:
• -2x < 7π/6 - π/4;
• -2x < (14π - 3π)/12;
• -2x < 11π/12;
• x > -11π/24.

Таким образом, решение второго неравенства:

Теперь у вас есть решения обоих неравенств. Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!