Чтобы решить неравенство x^2 - 8x < 0, следуем следующим шагам:

1. Приведем неравенство к стандартному виду: Мы видим, что неравенство уже имеет стандартный вид, где левая часть представляет собой квадратный трёхчлен.
2. Найдем корни уравнения: Для этого решим уравнение x^2 - 8x = 0. Мы можем вынести общий множитель:
   • x(x - 8) = 0
   Теперь находим корни:
   • x = 0
   • x - 8 = 0, следовательно, x = 8
3. Определим интервалы: У нас есть два корня: x = 0 и x = 8. Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала:
   • (-∞, 0)
   • (0, 8)
   • (8, +∞)
4. Проверим знак неравенства на каждом интервале: Для этого выбираем тестовые точки из каждого интервала:
   • Для интервала (-∞, 0) возьмем x = -1:
     • x^2 - 8x = (-1)^2 - 8*(-1) = 1 + 8 = 9 > 0
   • Для интервала (0, 8) возьмем x = 4:
     • x^2 - 8x = 4^2 - 8*4 = 16 - 32 = -16 < 0
   • Для интервала (8, +∞) возьмем x = 9:
     • x^2 - 8x = 9^2 - 8*9 = 81 - 72 = 9 > 0
5. Сделаем вывод: Неравенство x^2 - 8x < 0 выполняется только на интервале (0, 8).
6. Запишем ответ: Решением неравенства является интервал (0, 8).

Таким образом, мы нашли, что неравенство x^2 - 8x < 0 выполняется для всех x, которые находятся в интервале (0, 8).