Для решения уравнения cos(2x) + sin^2(x) + sin(x) = 0,25 мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами и алгебраическими преобразованиями. Рассмотрим шаги, необходимые для нахождения корней данного уравнения.

1. Использование тригонометрических тождеств:
   • Мы знаем, что cos(2x) можно выразить через sin(x) с помощью тождества: cos(2x) = 1 - 2sin^2(x).
   • Таким образом, подставим это выражение в уравнение:
2. Подстановка:
   • Уравнение преобразуется в: (1 - 2sin^2(x)) + sin^2(x) + sin(x) = 0,25.
   • Упростим его:
3. Упрощение уравнения:
   • Соберем все члены: 1 - 2sin^2(x) + sin^2(x) + sin(x) = 0,25.
   • Это упрощается до: -sin^2(x) + sin(x) + 1 - 0,25 = 0, что эквивалентно -sin^2(x) + sin(x) + 0,75 = 0.
4. Приведение уравнения к стандартному виду:
   • Умножим все уравнение на -1 для удобства: sin^2(x) - sin(x) - 0,75 = 0.
5. Решение квадратного уравнения:
   • Теперь мы можем использовать формулу для решения квадратных уравнений: ax^2 + bx + c = 0, где a = 1, b = -1, c = -0,75.
   • Находим дискриминант: D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4*1*(-0,75) = 1 + 3 = 4.
   • Находим корни уравнения: sin(x) = (1 ± √D) / 2a = (1 ± 2) / 2.
   • Таким образом, получаем два корня: sin(x) = 1,5 и sin(x) = -0,5.
6. Анализ корней:
   • Корень sin(x) = 1,5 не имеет решения, так как sin(x) не может превышать 1.
   • Корень sin(x) = -0,5 имеет решения. Мы знаем, что sin(x) = -0,5 в третьем и четвертом квадрантах:
   • x = 7π/6 + 2kπ и x = 11π/6 + 2kπ, где k – целое число.

Таким образом, уравнение cos(2x) + sin^2(x) + sin(x) = 0,25 имеет решения в виде: x = 7π/6 + 2kπ и x = 11π/6 + 2kπ, где k – любое целое число.