Чтобы решить систему уравнений:

• x² + xy + y² = 49
• x² - xy + y² = 19

начнем с того, что обозначим два уравнения как:

• (1) x² + xy + y² = 49
• (2) x² - xy + y² = 19

Теперь вычтем второе уравнение из первого:

(1) - (2):

(x² + xy + y²) - (x² - xy + y²) = 49 - 19

Упрощаем:

• x² - x² + xy - (-xy) + y² - y² = 30
• xy + xy = 30
• 2xy = 30
• xy = 15

Теперь мы знаем, что произведение x и y равно 15. Теперь подставим значение xy = 15 в одно из уравнений. Используем (2):

x² - xy + y² = 19.

Подставим xy:

x² - 15 + y² = 19.

Теперь упростим:

x² + y² = 19 + 15 = 34.

Теперь у нас есть две новые информации:

• xy = 15
• x² + y² = 34

Теперь мы можем использовать формулы для нахождения корней квадратного уравнения. Поскольку x и y являются корнями, мы можем записать уравнение:

t² - (x+y)t + xy = 0.

Сначала найдем x + y. Из формулы:

(x + y)² = x² + y² + 2xy.

Подставим известные значения:

(x + y)² = 34 + 2 * 15 = 34 + 30 = 64.

Таким образом:

x + y = √64 = 8.

Теперь у нас есть:

• x + y = 8
• xy = 15

Теперь можем составить квадратное уравнение:

t² - (x+y)t + xy = 0

t² - 8t + 15 = 0.

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac = 8² - 4 * 1 * 15 = 64 - 60 = 4.

Так как D > 0, у уравнения есть два различных корня:

x, y = (8 ± √4) / 2 = (8 ± 2) / 2.

Таким образом, мы получаем:

• x = (8 + 2) / 2 = 10 / 2 = 5
• y = (8 - 2) / 2 = 6 / 2 = 3

Или наоборот:

• x = 3
• y = 5

Таким образом, решения системы уравнений, состоящей из натуральных чисел, это:

• (x, y) = (5, 3)
• (x, y) = (3, 5)

Оба решения удовлетворяют условиям задачи, так как x и y являются натуральными числами.