Какова должна быть ширина и высота открытого бака заданного объема V=32, который имеет форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием, чтобы затратить наименьшее количество металла?

Алгебра 10 класс Оптимизация и экстремумы функций ширина бака высота бака объем V=32 прямоугольный параллелепипед квадратное основание минимизация металла задачи алгебры 10 класс оптимизация геометрические задачи Новый

Давайте разберемся с этой задачей! Нам нужно найти оптимальные размеры открытого бака с квадратным основанием, чтобы минимизировать количество используемого металла, при этом сохранив заданный объем V = 32.

1. Обозначим переменные:

• Пусть длина стороны квадратного основания будет равна x.
• Высота бака будет h.

2. Объем бака:

Объем V можно выразить как:

V = x^2 * h = 32.

3. Площадь поверхности:

Так как бак открытый, площадь поверхности S будет равна:

S = x^2 + 4 * (x * h).

4. Выразим h через x:

Из уравнения объема мы можем выразить h:

h = 32 / x^2.

5. Подставим h в формулу площади:

S = x^2 + 4 * (x * (32 / x^2)) = x^2 + 128 / x.

6. Найдем производную S:

Чтобы минимизировать площадь, нужно найти производную S и приравнять ее к нулю:

S' = 2x - 128 / x^2.

7. Приравняем производную к нулю:

2x - 128 / x^2 = 0.

8. Найдем x:

2x^3 = 128.

x^3 = 64.

x = 4.

9. Найдем h:

Теперь подставим x = 4 в уравнение для h:

h = 32 / (4^2) = 32 / 16 = 2.

10. Ответ:

Таким образом, оптимальные размеры открытого бака с заданным объемом 32:

• Ширина (длина стороны основания): 4 единицы
• Высота: 2 единицы

Вот так просто и увлекательно мы нашли решение! Успехов в изучении математики!