Чтобы найти область значений функции y = √(-x² + 4x + 5), нам нужно сначала определить, при каких значениях x выражение под корнем будет неотрицательным, так как корень из отрицательного числа не определён в области действительных чисел.

Начнём с неравенства:

-x² + 4x + 5 ≥ 0

Для решения этого неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

-x² + 4x + 5 = 0

Умножим всё уравнение на -1 (это изменит знак неравенства, но для нахождения корней это не повлияет):

x² - 4x - 5 = 0

Теперь используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Где a = 1, b = -4, c = -5. Подставим значения:

x = (4 ± √((-4)² - 4 * 1 * (-5))) / (2 * 1)

Посчитаем дискриминант:

D = 16 + 20 = 36

Теперь находим корни:

x = (4 ± √36) / 2

Это даёт нам два корня:

x₁ = (4 + 6) / 2 = 5

x₂ = (4 - 6) / 2 = -1

Теперь мы знаем, что функция равна нулю при x = -1 и x = 5. Теперь нужно определить, где выражение -x² + 4x + 5 положительно. Для этого рассмотрим промежутки:

• (-∞, -1)
• (-1, 5)
• (5, +∞)

Теперь подберем тестовые значения для каждого промежутка:

1. Для x = -2 (из промежутка (-∞, -1)):
   -(-2)² + 4*(-2) + 5 = -4 - 8 + 5 = -7 (отрицательное)
2. Для x = 0 (из промежутка (-1, 5)):
   -0² + 4*0 + 5 = 5 (положительное)
3. Для x = 6 (из промежутка (5, +∞)):
   -6² + 4*6 + 5 = -36 + 24 + 5 = -7 (отрицательное)

Таким образом, выражение -x² + 4x + 5 неотрицательно на промежутке [-1, 5]. Теперь найдем значения функции y:

При x = -1: y = √(-(-1)² + 4*(-1) + 5) = √(0) = 0

При x = 5: y = √(-5² + 4*5 + 5) = √(0) = 0

При x = 0: y = √(-0² + 4*0 + 5) = √(5) ≈ 2.236

Таким образом, значение функции y будет изменяться от 0 до √5 (приблизительно 2.236). Значит, область значений функции будет от 0 до 3, включительно.

Ответ: C) [0,3]