Давайте начнем с того, что у нас есть квадратное уравнение 2x² - 3x - 7 = 0. Для того чтобы найти корни этого уравнения, мы можем использовать формулу корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

Где a = 2, b = -3 и c = -7. Подставим эти значения в формулу:

1. Сначала найдем дискриминант: D = b² - 4ac = (-3)² - 4 * 2 * (-7) = 9 + 56 = 65.
2. Теперь найдем корни: x₁, x₂ = (3 ± √65) / 4.

Теперь, когда мы знаем корни, давайте решим поставленные задачи:

a) Найти x₁² + x₂².

Мы можем использовать формулу:

x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂.

По теореме Виета:

• x₁ + x₂ = -b/a = 3/2,
• x₁x₂ = c/a = -7/2.

Теперь подставим эти значения:

x₁² + x₂² = (3/2)² - 2*(-7/2) = 9/4 + 7 = 9/4 + 28/4 = 37/4.

b) Найти x₁/x₂² + x₂/x₁².

Это выражение можно записать как:

x₁/x₂² + x₂/x₁² = (x₁² + x₂²) / (x₁x₂).

Мы уже нашли x₁² + x₂² = 37/4 и x₁x₂ = -7/2.

Теперь подставим значения:

x₁/x₂² + x₂/x₁² = (37/4) / (-7/2) = (37/4) * (-2/7) = -74/28 = -37/14.

в) Найти x₁⁴ + x₂⁴.

Мы можем использовать формулу:

x₁⁴ + x₂⁴ = (x₁² + x₂²)² - 2(x₁²x₂²).

Сначала найдем x₁²x₂²:

x₁²x₂² = (x₁x₂)² = (-7/2)² = 49/4.

Теперь подставим все значения:

x₁⁴ + x₂⁴ = (37/4)² - 2*(49/4) = 1369/16 - 98/4 = 1369/16 - 392/16 = 977/16.

г) Найти (x₁⁴ + x₂⁴)(x₁⁴ + x₂).

Мы уже нашли x₁⁴ + x₂⁴ = 977/16. Теперь найдем x₁⁴ + x₂:

x₁⁴ + x₂ = x₁⁴ + x₂⁴ = x₁² + x₂² = 37/4.

Теперь подставим значения в выражение:

(x₁⁴ + x₂⁴)(x₁⁴ + x₂) = (977/16) * (37/4) = 977 * 37 / 64 = 36149 / 64.

Итак, мы нашли все необходимые значения:

• a) x₁² + x₂² = 37/4;
• b) x₁/x₂² + x₂/x₁² = -37/14;
• в) x₁⁴ + x₂⁴ = 977/16;
• г) (x₁⁴ + x₂⁴)(x₁⁴ + x₂) = 36149/64.