Для решения неравенства x² + 4x + 3 ≥ 0 начнем с анализа соответствующей квадратичной функции f(x) = x² + 4x + 3.

Шаг 1: Найдем корни уравнения.

Сначала решим уравнение x² + 4x + 3 = 0. Мы можем использовать формулу корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = 4, c = 3.

• Вычисляем дискриминант: D = b² - 4ac = 4² - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4.
• Теперь находим корни:
• x₁ = (-4 + √4) / 2 = (-4 + 2) / 2 = -2;
• x₂ = (-4 - √4) / 2 = (-4 - 2) / 2 = -3.

Шаг 2: Построим график функции.

Квадратичная функция f(x) = x² + 4x + 3 имеет вид параболы, открытой вверх, так как коэффициент при x² положительный. Корни -3 и -1 являются точками пересечения графика с осью x.

Шаг 3: Определим, где функция больше или равна нулю.

Теперь нам нужно определить, в каких интервалах функция f(x) ≥ 0:

• Функция будет положительной (или равной нулю) вне интервала между корнями:
• Интервал (-∞, -3] - здесь функция принимает значения ≥ 0;
• Интервал [-1, +∞) - здесь также функция принимает значения ≥ 0.

Шаг 4: Записываем ответ.

Таким образом, решение неравенства x² + 4x + 3 ≥ 0 будет:

x ∈ (-∞, -3] ∪ [-1, +∞).

Шаг 5: Сравниваем с предложенными вариантами.

• x ≤ –3; x ≥ –1 - неверно;
• x ∈ [–3; –1) - неверно;
• x ∈ (–∞; –3) ∪ [–1; +∞) - неверно;
• x ∈ (–∞; –3] ∪ [–1; +∞) - верно;
• x < –3; x ≥ –1 - неверно;

Итак, верный ответ: x ∈ (–∞; –3] ∪ [–1; +∞).