Задача: постройте график функции f(x) = sin|x| / |sin x|, подробно по шагам.

1. Упростим выражение.

   Заметим, что для любого x выполняется |sin x| = |sin(|x|)|, поэтому можно записать

   f(x) = sin(|x|) / |sin(|x|)| = sign( sin(|x|) ),

   где sign(y) = 1 при y>0, sign(y) = -1 при y<0 (в точках y=0 выражение не определено).

2. Область определения.

   Функция не определена там, где знаменатель равен нулю, то есть когда |sin x| = 0 ⇔ sin(|x|) = 0 ⇔ |x| = k·π, k ∈ Z≥0. Это даёт все x = k·π, k ∈ Z. Во всех остальных точках функция принимает ±1.

3. На каких интервалах функция равна +1 и −1.

   Синус положителен на интервалах (2kπ, (2k+1)π) и отрицателен на ((2k+1)π, (2k+2)π) для целых k. Поскольку в функции стоит sin(|x|), берём эти интервалы по модулю |x|:

   • f(x) = +1, если |x| ∈ (2kπ, (2k+1)π), k ∈ Z≥0;
   • f(x) = −1, если |x| ∈ ((2k+1)π, (2k+2)π), k ∈ Z≥0;
   • f(x) не определена при x = kπ, k ∈ Z.

4. Свойства и способ построения графика.

   • Функция чётная: f(−x) = f(x) (т.к. в выражении встречается |x|).
   • График состоит из горизонтальных отрезков на уровнях y = 1 и y = −1. Эти отрезки находятся на интервалах, указанных выше, и в их концах (x = kπ) точек нет (пустые кружки), так как функция не определена в этих точках.
   • На отрезке [0, 2π): f(x) = +1 на (0, π), f(x) = −1 на (π, 2π). Тот же рисунок симметрично повторяется в отрицательную сторону относительно оси Oy.

5. Итоговая формула (коротко):

   • f(x) = 1, если |x| ∈ (2kπ, (2k+1)π);
   • f(x) = −1, если |x| ∈ ((2k+1)π, (2k+2)π);
   • f(x) не определена при x = kπ, k ∈ Z.

Как нарисовать шаг за шагом:

1. На числовой оси отметьте точки x = kπ (k ∈ Z). В этих точках будут открытые кружки (функция не определена).
2. На интервале (0, π) поставьте горизонтальную линию y = 1; на (π, 2π) — горизонтальную линию y = −1.
3. Для отрицательных x повторите симметрично относительно Oy (функция чётная): на (−π, 0) — y = 1, на (−2π, −π) — y = −1 и т.д.
4. Получится «ступенчатая» чётная функция, принимающая только значения +1 и −1 и прерывающаяся в точках x = kπ.

Примеры значений: f(π/6) = 1, f(5π/4) = −1, f(0) не определено, f(−π/3) = 1.