Рассмотрим уравнение

(x² - (a - 1)x + a - 2) / √(x - 3) = 0.

1) Область определения. Подкоренное выражение требует x - 3 ≥ 0, но при x = 3 знаменатель √(x - 3) = 0, деление на ноль запрещено. Следовательно, допустимы только x > 3.

2) Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю (и знаменатель ≠ 0). Значит решаем квадратичное уравнение

f(x) = x² - (a - 1)x + a - 2 = 0 при x > 3.

3) Найдём дискриминант квадратичного трехчлена:

D = (a - 1)² - 4(a - 2) = a² - 6a + 9 = (a - 3)² ≥ 0.

Значит для всех a корни вещественные; при a = 3 корни совпадают (двукратный), при a ≠ 3 — два различных корня.

4) Введём значение f(3):

f(3) = 9 - 3(a - 1) + a - 2 = 10 - 2a.

Если f(3) < 0, то точка x = 3 лежит между корнями квадратичного многочлена, отсюда один корень будет меньше 3, другой — больше 3, то есть ровно один корень попадёт в область x > 3 (даёт ровно одно решение исходного уравнения). Условие f(3) < 0 даёт 10 - 2a < 0 ⇔ a > 5.

Если f(3) = 0 (a = 5), то один корень равен 3, но x = 3 не входит в область определения — поэтому таких решений нет.

Если f(3) > 0 (a < 5), то 3 лежит вне промежутка между корнями. Поскольку сумма корней S = a - 1 < 4 при a < 5, оба корня не могут быть больше 3 (их сумма была бы > 6), следовательно оба корня < 3 и решений с x > 3 тоже нет.

Вывод: исходное уравнение имеет ровно одно решение тогда и только тогда, когда a > 5.