Решите следующие уравнения:

1. logx(2)−log4(x)+7/6=0
2. log3(3^x−8)=2-x

Алгебра 10 класс Логарифмические уравнения алгебра 10 класс решение уравнений логарифмы уравнения с логарифмами математические задачи логарифмические уравнения алгебраические уравнения Новый

Давайте решим оба уравнения по очереди.

1. Уравнение: logx(2) - log4(x) + 7/6 = 0

Для начала, мы можем переписать уравнение, чтобы выразить logx(2):

1. Переносим log4(x) и 7/6 на правую сторону:
2. logx(2) = log4(x) - 7/6

Теперь мы можем использовать свойство логарифмов, что loga(b) = logc(b) / logc(a) для преобразования логарифмов с разными основаниями. В нашем случае:

• log4(x) = log2(x) / log2(4) = log2(x) / 2

Подставим это в уравнение:

1. logx(2) = (log2(x) / 2) - 7/6

Теперь выразим logx(2) через log2:

• logx(2) = log2(2) / log2(x) = 1 / log2(x)

Теперь у нас есть уравнение:

1. 1 / log2(x) = (log2(x) / 2) - 7/6

Умножим обе стороны на log2(x) для устранения дроби:

1. 1 = (log2(x)^2 / 2) - (7/6) * log2(x)

Умножим на 6, чтобы избавиться от дробей:

1. 6 = 3 * log2(x)^2 - 7 * log2(x)

Перепишем уравнение в стандартной форме:

1. 3 * log2(x)^2 - 7 * log2(x) - 6 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• a = 3, b = -7, c = -6
• D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 * 3 * (-6) = 49 + 72 = 121

Теперь находим корни:

• log2(x) = (7 ± sqrt(121)) / (2 * 3)
• log2(x) = (7 ± 11) / 6

Это дает нам два значения:

• log2(x) = 3/6 = 1/2 (первый корень)
• log2(x) = -2/6 = -1/3 (второй корень)

Теперь найдем x:

• Первый корень: 2^(1/2) = sqrt(2)
• Второй корень: 2^(-1/3) = 1 / (2^(1/3))

Таким образом, у нас есть два решения:

• x = sqrt(2)
• x = 1 / (2^(1/3))

2. Уравнение: log3(3^x - 8) = 2 - x

Начнем с преобразования уравнения:

1. Переписываем уравнение в экспоненциальной форме:
2. 3^(2 - x) = 3^x - 8

Теперь упростим:

• 3^2 * 3^(-x) = 3^x - 8
• 9 / 3^x = 3^x - 8

Умножим обе стороны на 3^x:

1. 9 = (3^x)^2 - 8 * 3^x

Теперь мы можем записать это как квадратное уравнение:

• (3^x)^2 - 8 * 3^x - 9 = 0

Обозначим t = 3^x. Тогда уравнение становится:

• t^2 - 8t - 9 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• a = 1, b = -8, c = -9
• D = (-8)^2 - 4 * 1 * (-9) = 64 + 36 = 100

Теперь находим корни:

• t = (8 ± sqrt(100)) / 2
• t = (8 ± 10) / 2

Это дает нам два значения:

• t = 9 (первый корень)
• t = -1 (второй корень, не подходит, так как t = 3^x не может быть отрицательным)

Теперь находим x:

• 3^x = 9
• x = 2

Таким образом, решение второго уравнения:

• x = 2

Итак, итоговые решения:

• Для первого уравнения: x = sqrt(2) и x = 1 / (2^(1/3))
• Для второго уравнения: x = 2