Чтобы найти логарифм выражения 81a^2/b^3 по основанию a=3, нам нужно воспользоваться свойствами логарифмов. Рассмотрим шаги решения:

1. Запишем выражение: Нам нужно найти log₃(81a²/b³).
2. Разделим логарифм на сумму логарифмов: Мы можем использовать свойство логарифмов, которое гласит, что log_b(x/y) = log_b(x) - log_b(y). Таким образом, мы можем записать:
   • log₃(81a²/b³) = log₃(81a²) - log₃(b³).
3. Разделим первый логарифм на сумму логарифмов: Теперь разложим еще один логарифм:
   • log₃(81a²) = log₃(81) + log₃(a²).
4. Подсчитаем log₃(81): Поскольку 81 = 3⁴, мы можем написать:
   • log₃(81) = log₃(3⁴) = 4.
5. Подсчитаем log₃(a²): Используя свойство логарифмов, мы можем записать:
   • log₃(a²) = 2 * log₃(a).
   • А так как a = 3, то log₃(a) = log₃(3) = 1.
   • Следовательно, log₃(a²) = 2 * 1 = 2.
6. Теперь можем подставить все найденные значения:
   • log₃(81a²) = 4 + 2 = 6.
7. Теперь найдем log₃(b³): Используя свойства логарифмов:
   • log₃(b³) = 3 * log₃(b).
8. Итак, подводим итог:
   • log₃(81a²/b³) = log₃(81a²) - log₃(b³) = 6 - 3 * log₃(b).

Таким образом, окончательный ответ будет:

log₃(81a²/b³) = 6 - 3 * log₃(b).