Для решения задачи начнем с анализа заданной рекуррентной последовательности. У нас есть:

• a_1 = 1
• a_{10} = 55
• a_{n+2} = 2a_{n+1} - a_n для всех натуральных n

Сначала найдем значение a_2 и a_3, используя рекуррентное соотношение. Для этого нам нужно выразить a_2 через a_1 и a_3 через a_2 и a_1.

Из соотношения a_{n+2} = 2a_{n+1} - a_n, подставим n = 1:

1. a_3 = 2a_2 - a_1

Теперь нам нужно выразить a_2. Подставим n = 2:

1. a_4 = 2a_3 - a_2

Теперь у нас есть два уравнения:

• a_3 = 2a_2 - 1
• a_4 = 2(2a_2 - 1) - a_2 = 4a_2 - 2 - a_2 = 3a_2 - 2

Теперь продолжим эту последовательность и найдем значения a_5, a_6 и так далее, пока не дойдем до a_{10}:

1. a_5 = 2a_4 - a_3 = 2(3a_2 - 2) - (2a_2 - 1) = 6a_2 - 4 - 2a_2 + 1 = 4a_2 - 3
2. a_6 = 2a_5 - a_4 = 2(4a_2 - 3) - (3a_2 - 2) = 8a_2 - 6 - 3a_2 + 2 = 5a_2 - 4
3. a_7 = 2a_6 - a_5 = 2(5a_2 - 4) - (4a_2 - 3) = 10a_2 - 8 - 4a_2 + 3 = 6a_2 - 5
4. a_8 = 2a_7 - a_6 = 2(6a_2 - 5) - (5a_2 - 4) = 12a_2 - 10 - 5a_2 + 4 = 7a_2 - 6
5. a_9 = 2a_8 - a_7 = 2(7a_2 - 6) - (6a_2 - 5) = 14a_2 - 12 - 6a_2 + 5 = 8a_2 - 7
6. a_{10} = 2a_9 - a_8 = 2(8a_2 - 7) - (7a_2 - 6) = 16a_2 - 14 - 7a_2 + 6 = 9a_2 - 8

Теперь мы знаем, что a_{10} = 9a_2 - 8. Подставим значение a_{10} = 55:

1. 9a_2 - 8 = 55
2. 9a_2 = 55 + 8
3. 9a_2 = 63
4. a_2 = 63 / 9 = 7

Теперь, зная a_2, можем найти a_3:

1. a_3 = 2a_2 - 1 = 2 * 7 - 1 = 14 - 1 = 13

Таким образом, a_3 = 13.

Теперь перейдем к нахождению суммы a_1 + a_2 + ... + a_{100}. Мы видим, что последовательность имеет линейный характер, и, зная a_1 и a_2, мы можем выразить a_n в общем виде.

Обозначим a_n = A + Bn, где A и B - некоторые константы. Мы знаем:

• a_1 = A + B = 1
• a_2 = A + 2B = 7

Из первого уравнения выразим A:

1. A = 1 - B

Теперь подставим A во второе уравнение:

1. 1 - B + 2B = 7
2. B = 7 - 1 = 6
3. A = 1 - 6 = -5

Теперь мы можем записать общий вид последовательности:

a_n = -5 + 6n.

Теперь найдем сумму a_1 + a_2 + ... + a_{100}:

1. Сумма S = a_1 + a_2 + ... + a_{100} = ( -5 + 6*1 ) + ( -5 + 6*2 ) + ... + ( -5 + 6*100 )
2. Это можно переписать как: S = 100 * (-5) + 6 * (1 + 2 + ... + 100)
3. Сумма первых 100 чисел = (100 * 101) / 2 = 5050
4. Таким образом, S = 100 * (-5) + 6 * 5050 = -500 + 30300 = 29800.

Итак, окончательный ответ:

a_3 = 13

Сумма a_1 + a_2 + ... + a_{100} = 29800