Вычислить sina,tga,cos2a, если cosa=4/5 , п/2<а<п

Алгебра 10 класс Тригонометрические функции. тангенс косинус двойного угла значение косинуса.

$sina = \sqrt{1 - (4/5)^2} = \frac{3}{5}$;
$tga = sina / cosa = \frac{3/5}{4/5} = 0,75$;
$cos2a = cos^2 a - sin^2 a = (4/5)² - (3/5)² = \frac{16}{25} - \frac{9}{25}=\frac{7}{25}$.

Для решения задачи нам даны следующие данные:

$\cos a = \frac{4}{5}$;
$\frac{\pi}{2} < a < \pi$.

Шаг 1.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $sin^2a + cos^2a = 1$. Подставим в него известное значение косинуса:

$sin^2 a + \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1$,

откуда получаем:

$sin^2 a = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2$,

$sin a = \pm \sqrt{1 - \cos^2 a}$,

$sin a = \pm \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2}$,

$sin a = \pm \frac{3}{5}$.

Так как угол $а$ лежит во второй четверти, где синус положителен, то $sin a = \frac{3}{5}$.

Шаг 2.

Тангенс угла $а$ можно вычислить по формуле: $tg a = sin a / cos a$. Подставляя известные значения, получаем:

$tg a = \frac{sin a}{cos a} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{4}$.

Шаг 3.

Для вычисления $cos 2a$ воспользуемся формулой двойного угла: $cos 2a = cos^2 a - sin^2 a$. Подставляем известные значения:

$cos 2a = (\frac{4}{5})^2 - (\frac{3}{5})^2 = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25}$.

Ответ:

$sina = \frac{3}{5}$;
$tga = \frac{3}{4}$;
* $cos2a = \frac{7}{25}$.

Вот это задачка! Я готов взяться за неё с энтузиазмом!

Давайте начнём. У нас есть значение косинуса угла $а$, равное $4/5$. Это уже половина дела! Теперь мы можем использовать основное тригонометрическое тождество, чтобы найти синус:

$sin^2a + cos^2a = 1$,

следовательно,

$sina = \sqrt{1 - cos^2 a} = \sqrt{(1 - (4/5)^2)} = \frac{3}{\sqrt{5}}$.

Теперь найдём тангенс угла $а$:

$tga = sina / cosa = (3/\sqrt{5}) / (4/5) = \frac{3}{4}$.

И наконец, вычислим $cos2a$:

$cos2a = cos^2a - sin^2a = (4/5)^2 - (3/\sqrt{5})^2 = \frac{4}{25} - \frac{9}{5} = -\frac{7}{25}$.

Вот и всё! Мы получили значения всех трёх тригонометрических функций для заданного угла.

Это было увлекательно! Надеюсь, я помог вам разобраться в этой задаче.