1. Найдем первообразную функции f(x) = 4/x + 7, которая проходит через точку A(2;8).

Для нахождения первообразной функции f(x) мы будем интегрировать ее. Запишем функцию:

f(x) = 4/x + 7.

Теперь найдем интеграл:

• Интеграл от 4/x равен 4 * ln|x|.
• Интеграл от 7 равен 7x.

Таким образом, первообразная F(x) будет выглядеть следующим образом:

F(x) = 4 * ln|x| + 7x + C, где C - произвольная константа.

Теперь нам нужно найти значение C, используя точку A(2;8):

F(2) = 4 * ln(2) + 7 * 2 + C = 8.

Подставим значения:

4 * ln(2) + 14 + C = 8.

Решим уравнение для C:

C = 8 - 4 * ln(2) - 14 = -6 - 4 * ln(2).

Таким образом, первообразная, проходящая через точку A(2;8), будет:

F(x) = 4 * ln|x| + 7x - 6 - 4 * ln(2).

2. Найдем интеграл ∫ (2x - 9) cos(x/2) dx методом интегрирования по частям.

Для применения метода интегрирования по частям используем формулу:

∫ u dv = uv - ∫ v du.

Выберем:

• u = 2x - 9, тогда du = 2 dx;
• dv = cos(x/2) dx, тогда v = 2 * sin(x/2) (так как интеграл от cos(x/2) равен 2 * sin(x/2)).

Теперь подставим в формулу:

∫ (2x - 9) cos(x/2) dx = (2x - 9)(2 * sin(x/2)) - ∫ (2 * sin(x/2))(2) dx.

Это упрощается до:

2(2x - 9) sin(x/2) - 4 ∫ sin(x/2) dx.

Интеграл от sin(x/2) равен -2 * cos(x/2), поэтому:

∫ sin(x/2) dx = -2 * cos(x/2).

Теперь подставим это обратно:

2(2x - 9) sin(x/2) + 8 * cos(x/2) + C, где C - произвольная константа.

3. Вычислим объем тела, образованного при вращении вокруг оси Oy фигуры, ограниченной линиями: y = 3x - 2, x = 0, y = 1, y = 3.

Сначала найдем точки пересечения линии y = 3x - 2 с горизонтальными линиями y = 1 и y = 3:

• Для y = 1: 1 = 3x - 2 => 3x = 3 => x = 1.
• Для y = 3: 3 = 3x - 2 => 3x = 5 => x = 5/3.

Теперь объем тела, образованного при вращении вокруг оси Oy, можно найти по формуле:

V = π * ∫ (x(y))^2 dy, где x(y) - обратная функция от y = 3x - 2.

Обратная функция: x = (y + 2)/3.

Теперь найдем пределы интегрирования: от y = 1 до y = 3.

Подставим в формулу объема:

V = π * ∫ [(y + 2)/3]^2 dy от 1 до 3.

Теперь вычислим интеграл:

V = π * (1/9) * ∫ (y^2 + 4y + 4) dy от 1 до 3.

Вычисляем интеграл:

V = π * (1/9) * [ (y^3)/3 + 2y^2 + 4y ] от 1 до 3.

После подстановки значений y = 3 и y = 1, получим объем V.

4. Найдем расстояние, которое пройдет тело за 3 секунды, используя скорость v(t) = 4t^2 - 3t.

Чтобы найти расстояние, нужно вычислить интеграл скорости по времени:

S = ∫ v(t) dt от 0 до 3.

Подставим выражение для v(t):

S = ∫ (4t^2 - 3t) dt от 0 до 3.

Теперь найдем интеграл:

S = [ (4/3)t^3 - (3/2)t^2 ] от 0 до 3.

Подставим пределы:

S = (4/3)*3^3 - (3/2)*3^2 - [0].

Вычисляем значение:

S = (4/3)*27 - (3/2)*9 = 36 - 13.5 = 22.5 метров.

Таким образом, тело пройдет 22.5 метра за 3 секунды.