1. Для функции y = -x² - 2x + 3 найдите:

Координаты вершины параболы:

Формула для нахождения координат вершины параболы, заданной уравнением y = ax² + bx + c, выглядит следующим образом:

• x_верш = -b / (2a)
• y_верш = f(x_верш)

В нашем случае a = -1, b = -2, c = 3. Подставляем значения:

• x_верш = -(-2) / (2 * -1) = 2 / -2 = -1
• y_верш = -(-1)² - 2*(-1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4

Таким образом, координаты вершины параболы: (-1, 4).

Промежутки возрастания и убывания функции:

Парабола открыта вниз (a < 0), значит, функция убывает на промежутке (-∞, -1) и возрастает на промежутке (-1, +∞).

Наибольшее значение функции:

Наибольшее значение функции равно y_верш, то есть 4.

2. Найдите значения sin α, cos α и tg α, если ctg α = √10 и π < α < 3π/2:

Поскольку α находится в третьем квадранте, sin α и cos α будут отрицательными. Известно, что:

• ctg α = 1/tg α = √10, значит, tg α = 1/√10.

Используем основное тригонометрическое соотношение:

• sin² α + cos² α = 1

Также, tg α = sin α / cos α, следовательно:

• sin α = -√(10) / 10, cos α = -1/√10.

Таким образом, значения:

• sin α = -√(10) / 10
• cos α = -1/√10
• tg α = 1/√10

3. Второй член арифметической прогрессии равен 8, а двадцатый 102. Для этой прогрессии найдите:

Обозначим первый член прогрессии как a и разность как d. Тогда:

• a + d = 8 (второй член)
• a + 19d = 102 (двадцатый член)

Решим систему уравнений:

1. Из первого уравнения выразим d: d = 8 - a.
2. Подставим d во второе уравнение: a + 19(8 - a) = 102.
3. Упрощаем: a + 152 - 19a = 102.
4. Получаем: -18a = -50, a = 50/18 = 25/9.
5. Теперь найдем d: d = 8 - 25/9 = 47/9.

Таким образом, первый член a = 25/9, разность d = 47/9.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии S_n = n/2 * (2a + (n - 1)d). Для n = 20:

S_20 = 20/2 * (2*(25/9) + 19*(47/9)) = 10 * (50/9 + 893/9) = 10 * (943/9) = 9430/9.

4. Найдите область определения и множество значений функции: y = 7 - √(-x² - 4x + 5):

Для нахождения области определения необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

• -x² - 4x + 5 ≥ 0.

Решим неравенство:

• Приведем к стандартному виду: x² + 4x - 5 ≤ 0.
• Находим корни: x = (-4 ± √(16 + 20)) / 2 = (-4 ± √36) / 2 = -2 ± 3.

Корни: x₁ = 1, x₂ = -5. Значит, область определения: [-5, 1].

Теперь найдем множество значений y:

При x = -5: y = 7 - √0 = 7.

При x = 1: y = 7 - √0 = 7.

На промежутке [-5, 1] функция достигает максимума 7 и минимального значения 7. Множество значений функции: {7}.

5. Даны функции f(x) = 2/(6-3x) и g(x) = 5x. Найдите функцию F = f - g + g * f и значение этой функции при x = 2:

Сначала найдем F(x):

• F(x) = f(x) - g(x) + g(x) * f(x).
• g(x) * f(x) = 5x * (2/(6 - 3x)) = 10x/(6 - 3x).

Теперь подставим в F(x):

• F(x) = 2/(6 - 3x) - 5x + 10x/(6 - 3x).

Объединим дроби:

• F(x) = (2 + 10x)/(6 - 3x) - 5x = (2 + 10x - 5x(6 - 3x))/(6 - 3x).

Теперь подставим x = 2:

• F(2) = (2 + 20)/(6 - 6) - 10 = (22/0) - 10.

F(2) не определена, так как знаменатель равен нулю.