1. Докажите, что функция F(x) = 1,5√x + ctgx является первообразной для функции f(x) = 3/(4√x) - 1/sin²x, x ∈ (0; +∞).

Чтобы доказать, что функция F(x) является первообразной для функции f(x), нам нужно найти производную F(x) и показать, что она равна f(x).

1. Находим производную F(x):
• F(x) = 1,5√x + ctgx
• Используем правила дифференцирования:
• Производная от √x: d(√x)/dx = (1/2)x^(-1/2) = 1/(2√x)
• Производная от ctgx: d(ctgx)/dx = -cosec²x
• Следовательно, F'(x) = 1,5 * (1/(2√x)) - cosec²x = (3/(4√x)) - (1/sin²x).
2. Сравниваем с f(x):
• f(x) = 3/(4√x) - 1/sin²x.
• Мы видим, что F'(x) = f(x).

Таким образом, мы доказали, что F(x) является первообразной для f(x).

2. Для функции f(x)=3x² - 2x найдите первообразные F(x), принимающие заданные значения в заданных точках F(-1)=0, F(0)=0, F(3)=0.

Сначала найдем общую первообразную для функции f(x).

1. Находим первообразную:
• F(x) = ∫(3x² - 2x)dx = x³ - x² + C, где C - произвольная константа.
2. Теперь подставим условия для нахождения C:
• F(-1) = (-1)³ - (-1)² + C = -1 - 1 + C = C - 2 = 0. Следовательно, C = 2.
• F(0) = 0³ - 0² + C = C = 0. Здесь мы видим, что C не совпадает, значит, нам нужно использовать другое значение.
• F(3) = 3³ - 3² + C = 27 - 9 + C = 18 + C = 0. Следовательно, C = -18.

Таким образом, одна из первообразных будет F(x) = x³ - x² - 18.

3. Дана функция f(x) = √3/sin²x + cos3x + 1/π. Известно, что график некоторой ее первообразной проходит через точку (π/6; 0). Чему равно значение этой первообразной в точке x = π/4?

Сначала найдем первообразную для функции f(x).

1. Находим первообразную:
• F(x) = ∫(√3/sin²x + cos3x + 1/π)dx.
• Первая часть: ∫(√3/sin²x)dx = √3 * (-cotx) + C₁.
• Вторая часть: ∫(cos3x)dx = (1/3)sin3x + C₂.
• Третья часть: ∫(1/π)dx = (1/π)x + C₃.
• Общая первообразная: F(x) = -√3*cotx + (1/3)sin3x + (1/π)x + C.
2. Теперь подставим точку (π/6; 0):
• F(π/6) = -√3*cot(π/6) + (1/3)sin(π/2) + (1/π)(π/6) + C = 0.
• cot(π/6) = √3, sin(π/2) = 1, (1/π)(π/6) = 1/6.
• Подставляем: -√3*√3 + (1/3)*1 + 1/6 + C = 0.
• Это дает: -3 + 1/3 + 1/6 + C = 0.
• Соберем все: C = 3 - 1/3 - 1/6 = 3 - 2/6 = 3 - 1/3 = 8/3.
3. Теперь находим значение F(π/4):
• F(π/4) = -√3*cot(π/4) + (1/3)sin(3π/4) + (1/π)(π/4) + 8/3.
• cot(π/4) = 1, sin(3π/4) = √2/2.
• Подставляем: F(π/4) = -√3*1 + (1/3)(√2/2) + (1/4) + 8/3.

Это значение и будет искомым.

4. Вычислите неопределенные интегралы:

a) ∫ (3/5x⁶ - 2/9x + 12)dx

1. Разделим интеграл на части: ∫(3/5)x⁶dx - ∫(2/9)x dx + ∫12dx.
2. Теперь найдем каждую часть:
• ∫(3/5)x⁶dx = (3/5)(1/7)x⁷ = (3/35)x⁷.
• ∫(2/9)x dx = (2/9)(1/2)x² = (1/9)x².
• ∫12dx = 12x.
3. Объединим результаты: (3/35)x⁷ - (1/9)x² + 12x + C.

b) ∫ 1/(3x+2)²dx

1. Используем замену: u = 3x + 2, du = 3dx, dx = du/3.
2. Тогда интеграл станет: (1/3)∫(1/u²)du.
3. Теперь интегрируем: ∫(1/u²)du = -1/u.
4. Таким образом, получаем: -(1/3)(1/(3x+2)) + C.

Итак, результаты интегралов:

• a) (3/35)x⁷ - (1/9)x² + 12x + C.
• b) -(1/3)(1/(3x+2)) + C.