1) Вычисление производной функции y=4sin(3x):

Чтобы найти производную этой функции, мы воспользуемся правилом производной для тригонометрических функций и цепным правилом. Вот шаги:

• Записываем функцию: y = 4sin(3x).
• Находим производную: dy/dx = 4 * cos(3x) * (3), где 3 — это производная от 3x.
• Таким образом, получаем: dy/dx = 12cos(3x).

Итак, производная функции y = 4sin(3x) равна 12cos(3x)! Это так увлекательно!

2) Исследование функции на экстремумы f(x)= 3+4x-x^2:

Чтобы провести исследование функции на экстремумы, нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Находим производную: f'(x) = 4 - 2x.
2. Приравниваем производную к нулю для нахождения критических точек: 4 - 2x = 0. Решаем это уравнение и находим x = 2.
3. Теперь определяем, есть ли экстремум в этой точке, проверяя знак производной:
• f'(x) > 0 при x < 2 (функция возрастает).
• f'(x) < 0 при x > 2 (функция убывает).
4. Следовательно, в точке x = 2 находится максимум!
5. Находим значение функции в этой точке: f(2) = 3 + 4*2 - 2^2 = 7.

Итак, у нас есть максимум в точке (2, 7)! Как же это здорово!

3) Определение неопределенного интеграла ∫x^4dx:

Чтобы найти неопределенный интеграл, используем правило интегрирования для степенных функций:

• Интеграл ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, где C — произвольная константа.
• В нашем случае n = 4, поэтому: ∫x^4 dx = (x^(4+1))/(4+1) + C = (x^5)/5 + C.

Таким образом, неопределенный интеграл ∫x^4dx равен (x^5)/5 + C! Как это вдохновляет!