1. Найдите число x, если (x-1)(√9)^3 / (√27 * (1/3)^3) = 9^2 / (√9)^3.

Давайте сначала упростим обе стороны уравнения.

• Сначала упростим √9: √9 = 3.
• Теперь подставим это значение: (x-1)(3)^3 / (√27 * (1/3)^3) = 9^2 / (3)^3.
• Теперь вычислим 3^3: 3^3 = 27, и 9^2: 9^2 = 81.
• Таким образом, у нас получается: (x-1)(27) / (√27 * (1/3)^3) = 81 / 27.

Теперь упростим правую часть:

• 81 / 27 = 3.

Теперь у нас есть уравнение:

(x-1)(27) / (√27 * (1/3)^3) = 3.

Теперь упростим левую часть:

• √27 = 3√3, и (1/3)^3 = 1/27.
• Таким образом, (√27 * (1/3)^3) = 3√3 * (1/27) = √3 / 9.

Теперь подставим это в уравнение:

(x-1)(27) / (√3 / 9) = 3.

Умножим обе стороны на (√3 / 9):

(x-1)(27) = 3 * (√3 / 9).

Упростим правую часть:

• 3 * (√3 / 9) = √3 / 3.

Теперь у нас есть:

(x-1)(27) = √3 / 3.

Теперь разделим обе стороны на 27:

x - 1 = (√3 / 3) / 27.

Или:

x - 1 = √3 / 81.

Теперь добавим 1 к обеим сторонам:

x = 1 + √3 / 81.

Это и есть ответ.

2. Решите уравнение 2^(x-1) + 2^(x-2) + 2^(x-3) = 448.

Начнем с упрощения левой части уравнения:

• 2^(x-1) = 2^(x-3) * 2^2 = 4 * 2^(x-3).
• 2^(x-2) = 2^(x-3) * 2^1 = 2 * 2^(x-3).
• Таким образом, уравнение можно переписать как: 4 * 2^(x-3) + 2 * 2^(x-3) + 2^(x-3) = 448.

Соберем все слагаемые:

(4 + 2 + 1) * 2^(x-3) = 448.

Это упрощается до:

7 * 2^(x-3) = 448.

Теперь разделим обе стороны на 7:

2^(x-3) = 448 / 7 = 64.

Теперь заметим, что 64 = 2^6:

Таким образом, у нас есть:

2^(x-3) = 2^6.

Теперь приравняем показатели:

x - 3 = 6.

Добавим 3 к обеим сторонам:

x = 6 + 3 = 9.

Ответ: x = 9.

3. Решите уравнение lg (lg x) + lg (lg x^3-2) = 0.

Сначала упростим уравнение:

• lg (lg x) + lg (lg x^3 - 2) = 0.
• Используем свойство логарифмов: lg a + lg b = lg (a * b).

Таким образом, у нас получается:

lg (lg x * (lg x^3 - 2)) = 0.

Это означает, что:

lg x * (lg x^3 - 2) = 1.

Теперь упростим lg x^3:

lg x^3 = 3 lg x.

Подставим это значение:

lg x * (3 lg x - 2) = 1.

Раскроем скобки:

3 (lg x)^2 - 2 lg x - 1 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение, используя формулу для решения квадратных уравнений:

lg x = (2 ± √(2^2 - 4 * 3 * (-1))) / (2 * 3).

Вычислим дискриминант:

D = 4 + 12 = 16.

Теперь подставим значения:

lg x = (2 ± 4) / 6.

Таким образом, у нас два решения:

• lg x = 1 (lg x = 2 + 4) / 6 = 1, что означает x = 10.
• lg x = -1/3 (lg x = 2 - 4) / 6 = -1/3, что означает x = 10^(-1/3) = 1/√10.

Ответы: x = 10 и x = 1/√10.