1. Найдите неопределенный интеграл ∫ (2cos3x + x^3)dx.

Чтобы найти неопределенный интеграл, мы можем разбить его на два отдельных интеграла:

• ∫ (2cos3x) dx
• ∫ (x^3) dx

Теперь найдем каждый из этих интегралов по отдельности.

Первый интеграл:

Для интеграла ∫ (2cos3x) dx мы используем замену переменной. Пусть u = 3x, тогда du = 3dx, и dx = du/3. Теперь подставим это в интеграл:

∫ (2cos3x) dx = ∫ (2cos(u)) * (du/3) = (2/3) ∫ cos(u) du.

Интеграл cos(u) равен sin(u), поэтому:

(2/3) ∫ cos(u) du = (2/3) sin(u) + C1 = (2/3) sin(3x) + C1.

Второй интеграл:

Теперь найдем интеграл ∫ (x^3) dx. Для этого используем правило интегрирования степенной функции:

∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, где n = 3.

Таким образом:

∫ (x^3) dx = (x^(3+1))/(3+1) + C2 = (x^4)/4 + C2.

Теперь объединим оба результата:

∫ (2cos3x + x^3) dx = (2/3) sin(3x) + (x^4)/4 + C, где C = C1 + C2.

Ответ: ∫ (2cos3x + x^3) dx = (2/3) sin(3x) + (x^4)/4 + C.

2. Даны функции y = x - 2 и y = sin5x. Найдите:

a) Неопределенный интеграл ∫ (x - 2)sin5xdx.

Как и в предыдущем случае, мы можем разбить интеграл на два отдельных:

• ∫ (x * sin5x) dx
• ∫ (-2 * sin5x) dx

Первый интеграл:

Для интеграла ∫ (x * sin5x) dx мы используем метод интегрирования по частям:

∫ u dv = uv - ∫ v du, где:

• u = x, тогда du = dx;
• dv = sin5x dx, тогда v = - (1/5) cos5x.

Теперь подставляем в формулу:

∫ (x * sin5x) dx = - (1/5) x cos5x - ∫ - (1/5) cos5x dx.

Интеграл ∫ cos5x dx равен (1/5) sin5x, поэтому:

∫ (x * sin5x) dx = - (1/5) x cos5x + (1/25) sin5x + C1.

Второй интеграл:

Теперь найдем интеграл ∫ (-2 * sin5x) dx:

∫ (-2 * sin5x) dx = -2 * (-1/5) cos5x = (2/5) cos5x + C2.

Объединим результаты:

∫ (x - 2)sin5x dx = [ - (1/5) x cos5x + (1/25) sin5x ] + [ (2/5) cos5x ] + C, где C = C1 + C2.

Ответ: ∫ (x - 2)sin5x dx = - (1/5) x cos5x + (1/25) sin5x + (2/5) cos5x + C.