1. Найдите неопределенный интеграл ∫ (2cos3x + x^3)dx

Для нахождения неопределенного интеграла, мы можем разделить его на две части и интегрировать каждую из них по отдельности:

1. ∫ 2cos(3x) dx
2. ∫ x^3 dx

1.1. Интегрируем первую часть:

∫ 2cos(3x) dx = 2 * (1/3)sin(3x) = (2/3)sin(3x) + C1, где C1 - произвольная константа интегрирования.

1.2. Интегрируем вторую часть:

∫ x^3 dx = (1/4)x^4 + C2, где C2 - произвольная константа интегрирования.

Теперь объединим результаты:

∫ (2cos(3x) + x^3) dx = (2/3)sin(3x) + (1/4)x^4 + C, где C = C1 + C2 - произвольная константа.

2. Даны функции y=x-2 и y=sin5x. Найдите:

a) Неопределенный интеграл ∫ (x – 2)sin5xdx

Для нахождения интеграла, мы используем метод интегрирования по частям:

Выберем u = (x - 2), dv = sin(5x)dx.

Тогда du = dx и v = -1/5 cos(5x).

Теперь применим формулу интегрирования по частям:

∫ u dv = uv - ∫ v du.

Подставляем:

∫ (x - 2)sin(5x) dx = (x - 2)(-1/5 cos(5x)) - ∫ (-1/5 cos(5x)) dx.

Теперь интегрируем второй интеграл:

∫ cos(5x) dx = (1/5)sin(5x).

Итак, подставляем:

∫ (x - 2)sin(5x) dx = -(1/5)(x - 2)cos(5x) + (1/25)sin(5x) + C.

b) Определенный интеграл ∫0^(π/5) (x - 2)sin5xdx

Мы уже нашли неопределенный интеграл, теперь подставим пределы:

∫0^(π/5) (x - 2)sin(5x) dx = [-(1/5)(x - 2)cos(5x) + (1/25)sin(5x)] от 0 до π/5.

Теперь подставим пределы:

F(π/5) = -(1/5)(π/5 - 2)cos(π) + (1/25)sin(π) = (1/5)(π/5 - 2) + 0.

F(0) = -(1/5)(0 - 2)cos(0) + (1/25)sin(0) = (2/5) + 0.

Теперь находим значение определенного интеграла:

∫0^(π/5) (x - 2)sin(5x) dx = F(π/5) - F(0) = (1/5)(π/5 - 2) - (2/5).

3. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=x²-4x-5, y=0, x=-1, x=4.

Сначала найдем точки пересечения кривой и оси абсцисс:

x² - 4x - 5 = 0. Найдем дискриминант D = (-4)² - 4*1*(-5) = 16 + 20 = 36.

Корни: x1 = (4 + 6)/2 = 5, x2 = (4 - 6)/2 = -1.

Теперь определим площадь:

Площадь = ∫ от -1 до 4 (x² - 4x - 5) dx.

Интегрируем:

∫ (x² - 4x - 5) dx = (1/3)x³ - 2x² - 5x + C.

Теперь подставим пределы:

Площадь = [(1/3)(4)³ - 2(4)² - 5(4)] - [(1/3)(-1)³ - 2(-1)² - 5(-1)].

Вычисляем:

Площадь = [(64/3) - 32 - 20] - [(-1/3) - 2 + 5].

Упрощаем и находим конечное значение площади.

4. Тело движется прямолинейно со скоростью θ = 2t + 1 (м/с). Найти путь, который пройдет тело в интервале времени от t1=2с до t2=4с.

Чтобы найти путь, необходимо интегрировать скорость по времени:

Путь S = ∫ от 2 до 4 (2t + 1) dt.

Интегрируем:

∫ (2t + 1) dt = t² + t + C.

Теперь подставим пределы:

S = [t² + t] от 2 до 4 = [4² + 4] - [2² + 2].

Вычисляем:

S = [16 + 4] - [4 + 2] = 20 - 6 = 14 м.