1. Найдите неопределенный интеграл ∫ (3sin2x + x^2)dx

Для нахождения неопределенного интеграла, мы можем разделить его на две части:

• ∫ 3sin(2x) dx
• ∫ x^2 dx

Теперь решим каждую часть отдельно.

1. Интеграл ∫ 3sin(2x) dx:

Для интегрирования sin(2x) используем замену переменной. Пусть u = 2x, тогда du = 2dx, следовательно, dx = du/2. Подставим это в интеграл:

∫ 3sin(2x) dx = ∫ 3sin(u) * (du/2) = (3/2) ∫ sin(u) du.

Интеграл sin(u) равен -cos(u), поэтому:

(3/2) ∫ sin(u) du = (3/2)(-cos(u)) = -(3/2)cos(2x).

2. Интеграл ∫ x^2 dx:

Интеграл x^2 можно найти по формуле ∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, где n = 2:

∫ x^2 dx = (x^(2+1))/(2+1) = (x^3)/3.

Теперь объединим результаты:

∫ (3sin(2x) + x^2) dx = -(3/2)cos(2x) + (x^3)/3 + C, где C - произвольная константа интегрирования.

2. Найдите неопределенный интеграл ∫ (x + 2)cos(3x)dx

Здесь также можно использовать метод интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям выглядит так:

∫ u dv = uv - ∫ v du.

Выберем:

• u = x + 2, тогда du = dx;
• dv = cos(3x) dx, тогда v = (1/3)sin(3x) (так как ∫ cos(3x) dx = (1/3)sin(3x)).

Теперь подставим в формулу интегрирования по частям:

∫ (x + 2)cos(3x) dx = (x + 2)(1/3)sin(3x) - ∫ (1/3)sin(3x) dx.

Теперь решим второй интеграл:

∫ sin(3x) dx = - (1/3)cos(3x), поэтому:

∫ (1/3)sin(3x) dx = - (1/9)cos(3x).

Теперь подставим это обратно:

∫ (x + 2)cos(3x) dx = (1/3)(x + 2)sin(3x) + (1/9)cos(3x) + C, где C - произвольная константа интегрирования.

Ответы:

• ∫ (3sin(2x) + x^2) dx = -(3/2)cos(2x) + (x^3)/3 + C;
• ∫ (x + 2)cos(3x) dx = (1/3)(x + 2)sin(3x) + (1/9)cos(3x) + C.