1. Найдите производную функции: f(x) = 20x^3 + 6x^2 - 7x + 3.

Чтобы найти производную функции f(x), мы будем использовать правило дифференцирования для степенных функций. Правило гласит, что производная функции вида ax^n равна n*ax^(n-1), где a - коэффициент, n - степень.

Теперь применим это правило к каждому члену функции:

• Производная 20x^3: 3*20x^(3-1) = 60x^2
• Производная 6x^2: 2*6x^(2-1) = 12x
• Производная -7x: -7
• Производная константы 3: 0

Теперь сложим все производные:

f'(x) = 60x^2 + 12x - 7.

2. Пусть f(x) = x^2 - 5x + 4 и g(x) = (x+1)/(x-2). Найдите составную функцию f(g).

Составная функция f(g(x)) означает, что мы подставляем g(x) в функцию f(x). Сначала найдем g(x): g(x) = (x + 1)/(x - 2).

Теперь подставим g(x) в f(x):

f(g(x)) = f((x + 1)/(x - 2)) = ((x + 1)/(x - 2))^2 - 5((x + 1)/(x - 2)) + 4.

Теперь упростим это выражение:

• ((x + 1)/(x - 2))^2 = (x + 1)^2/(x - 2)^2 = (x^2 + 2x + 1)/(x^2 - 4x + 4)
• - 5((x + 1)/(x - 2)) = -5(x + 1)/(x - 2) = -5(x + 1)/(x - 2)

Сложив все части, получаем f(g(x)) в упрощенном виде.

3. Пусть f(x) = x^3 - 5x^2 + 7x + 1. Найдите:

Стационарные точки:

Стационарные точки находятся, когда производная функции равна нулю.

Сначала найдем производную f'(x):

• f'(x) = 3x^2 - 10x + 7.

Теперь решим уравнение f'(x) = 0:

3x^2 - 10x + 7 = 0.

Используем дискриминант D = b^2 - 4ac:

D = (-10)^2 - 4*3*7 = 100 - 84 = 16.

Корни уравнения:

x1,2 = (10 ± √16)/(2*3) = (10 ± 4)/6.

x1 = 14/6 = 7/3, x2 = 6/6 = 1.

Таким образом, стационарные точки: x = 1 и x = 7/3.

Промежутки возрастания и убывания:

Теперь определим, на каких промежутках функция возрастает, а на каких убывает. Для этого исследуем знак производной:

• f'(x) = 3x^2 - 10x + 7.
• Проверим знаки на промежутках: (-∞, 1), (1, 7/3), (7/3, +∞).

Подставляем значения из каждого промежутка в f'(x) и определяем знак.

Точки локального максимума и минимума:

Локальный максимум будет в точке, где производная меняет знак с положительного на отрицательное, а локальный минимум — с отрицательного на положительный.

После анализа знаков производной, можно определить, что:

• Точка x = 1 — локальный минимум.
• Точка x = 7/3 — локальный максимум.

4. Найдите производную функции: (3x + 5)^3 + sin^2(x).

Для нахождения производной используем правило цепи и правило суммы.

• Производная (3x + 5)^3: 3(3x + 5)^2 * 3 = 9(3x + 5)^2.
• Производная sin^2(x): 2sin(x)cos(x) = sin(2x).

Теперь складываем производные:

f'(x) = 9(3x + 5)^2 + sin(2x).

5. Пусть f(x) = √(1 - 3x). Вычислите производную f' при x = 1/4.

Для нахождения производной функции f(x) используем правило дифференцирования корня:

f'(x) = (1/2)(1 - 3x)^(-1/2) * (-3) = -3/(2√(1 - 3x)).

Теперь подставим x = 1/4:

f'(1/4) = -3/(2√(1 - 3*(1/4))) = -3/(2√(1 - 3/4)) = -3/(2√(1/4)) = -3/(2*(1/2)) = -3.

Таким образом, производная f' при x = 1/4 равна -3.