1. Найдите промежутки монотонности функции:

1. а) f(x) = (x - 2)^2 / (x + 1)
2. б) f(x) = √x - x

Алгебра 11 класс Промежутки монотонности функции промежутки монотонности функция алгебра f(x) производная анализ функции график функции экстремумы монотонность функции нахождение промежутков Новый

Чтобы найти промежутки монотонности функции, нам нужно определить, на каких интервалах функция возрастает или убывает. Для этого мы будем использовать производную функции.

а) f(x) = (x - 2)^2 / (x + 1)

1. Сначала найдем производную функции f(x). Для этого применим правило частного:
2. f'(x) = [ (x + 1) * 2(x - 2) - (x - 2)^2 * 1 ] / (x + 1)^2
3. Упростим числитель:
4. f'(x) = [ 2(x - 2)(x + 1) - (x - 2)^2 ] / (x + 1)^2
5. Раскроем скобки:
6. 2(x^2 - x - 2) - (x^2 - 4x + 4) = 2x^2 - 2x - 4 - x^2 + 4x - 4 = x^2 + 2x - 8
7. Таким образом, f'(x) = (x^2 + 2x - 8) / (x + 1)^2

Теперь найдем нули производной:

• x^2 + 2x - 8 = 0
• Решим это уравнение с помощью дискриминанта: D = 2^2 - 4 * 1 * (-8) = 4 + 32 = 36.
• Корни: x1 = (-2 + 6) / 2 = 2, x2 = (-2 - 6) / 2 = -4.

Теперь определим знаки производной на интервалах (-∞, -4), (-4, 2) и (2, +∞):

• Для x < -4, например, x = -5: f'(-5) = ((-5)^2 + 2*(-5) - 8) / (-5 + 1)^2 = (25 - 10 - 8) / 16 < 0 (убывает).
• Для -4 < x < 2, например, x = 0: f'(0) = (0^2 + 2*0 - 8) / (0 + 1)^2 = -8 / 1 < 0 (убывает).
• Для x > 2, например, x = 3: f'(3) = (3^2 + 2*3 - 8) / (3 + 1)^2 = (9 + 6 - 8) / 16 > 0 (возрастает).

Таким образом, функция:

• убывает на интервалах (-∞, -4) и (-4, 2);
• возрастает на интервале (2, +∞).

б) f(x) = √x - x

1. Найдем производную функции f(x):
2. f'(x) = (1/2√x) - 1.

Теперь найдем, когда производная равна нулю:

• (1/2√x) - 1 = 0
• 1/2√x = 1
• √x = 2
• x = 4.

Теперь определим знаки производной на интервалах (0, 4) и (4, +∞):

• Для 0 < x < 4, например, x = 1: f'(1) = (1/2*1) - 1 = 0.5 - 1 < 0 (убывает).
• Для x > 4, например, x = 5: f'(5) = (1/2√5) - 1 > 0 (возрастает).

Таким образом, функция:

• убывает на интервале (0, 4);
• возрастает на интервале (4, +∞).