1. Доказательство делимости выражения на 19:

Рассмотрим выражение, которое делится на 19. Пусть это выражение имеет вид:

• A = x + y

где x и y - целые числа. Мы знаем, что A делится на 19, то есть:

• A = 19k, где k - целое число.

Теперь рассмотрим выражение B = x - y. Нам нужно доказать, что B также делится на 19.

Поскольку x и y - целые числа, то их разность также является целым числом. Однако, чтобы показать, что B делится на 19, нам нужно использовать свойства делимости.

Если A = x + y делится на 19, это означает, что:

• x + y ≡ 0 (mod 19).

Мы можем выразить x через y:

• x ≡ -y (mod 19).

Теперь подставим это значение в B:

• B = x - y ≡ -y - y ≡ -2y (mod 19).

Таким образом, если y делится на 19, то и -2y тоже делится на 19. Это означает, что B также делится на 19.

Следовательно, мы доказали, что если x + y делится на 19, то x - y также делится на 19.

2. Найдите квадратное уравнение с обратными корнями:

Дано квадратное уравнение:

• x^2 + px + q = 0.

Обозначим корни этого уравнения как α и β. По свойству корней квадратного уравнения, мы знаем, что:

• α + β = -p,
• αβ = q.

Теперь нам нужно найти квадратное уравнение, корни которого будут обратны корням α и β, то есть 1/α и 1/β.

Сумма корней 1/α и 1/β будет равна:

• 1/α + 1/β = (α + β) / (αβ) = (-p) / q.

Произведение корней 1/α и 1/β будет равно:

• (1/α) * (1/β) = 1 / (αβ) = 1/q.

Теперь мы можем записать квадратное уравнение с корнями 1/α и 1/β в виде:

• x^2 - (сумма корней) * x + (произведение корней) = 0.

Подставим найденные значения:

• x^2 - (-p/q)x + 1/q = 0.

Умножим все уравнение на q, чтобы избавиться от дробей:

• qx^2 + px + 1 = 0.

Таким образом, искомое квадратное уравнение, корни которого обратны корням уравнения x^2 + px + q = 0, будет:

• qx^2 + px + 1 = 0.