Для упрощения выражения (10a / (a^2 - b^2) + 5 / (b - a) - 4 / (a + b)) : (3 / (a + b)), начнем с того, что упростим числитель и затем разделим на знаменатель.

Числитель выражения выглядит так: 10a / (a^2 - b^2) + 5 / (b - a) - 4 / (a + b).

Заметим, что a^2 - b^2 можно разложить на множители:

• a^2 - b^2 = (a - b)(a + b).

Теперь перепишем первое слагаемое:

• 10a / (a^2 - b^2) = 10a / ((a - b)(a + b)).

Теперь у нас есть:

• 10a / ((a - b)(a + b)) + 5 / (b - a) - 4 / (a + b).

Обратите внимание, что b - a = -(a - b), следовательно:

• 5 / (b - a) = -5 / (a - b).

Теперь можем переписать числитель:

• 10a / ((a - b)(a + b)) - 5 / (a - b) - 4 / (a + b).

Общий знаменатель для всех трех дробей будет (a - b)(a + b). Теперь перепишем каждую дробь с этим общим знаменателем:

• 10a / ((a - b)(a + b)) уже в нужном виде.
• -5 / (a - b) = -5(a + b) / ((a - b)(a + b)).
• -4 / (a + b) = -4(a - b) / ((a - b)(a + b)).

Теперь можем сложить дроби:

• 10a - 5(a + b) - 4(a - b) / ((a - b)(a + b)).

Упростим числитель:

• 10a - 5a - 5b - 4a + 4b = (10a - 5a - 4a) + (-5b + 4b) = a - b.

Таким образом, числитель равен (a - b), и мы имеем:

• (a - b) / ((a - b)(a + b)) = 1 / (a + b), если a ≠ b.

Теперь вернемся к исходному выражению:

• (1 / (a + b)) : (3 / (a + b)) = (1 / (a + b)) * (a + b / 3) = 1 / 3.