1) Деление многочлена x^4 + 3x^3 - 21x^2 - 43x + 60 на многочлен x^2 + 2x - 3.

Для выполнения деления многочленов используем метод деления столбиком. Начнем с деления старших членов.

1. Первый шаг: делим первый член делимого (x^4) на первый член делителя (x^2). Получаем x^2.
2. Умножаем x^2 на весь делитель (x^2 + 2x - 3):
• x^2 * x^2 = x^4
• x^2 * 2x = 2x^3
• x^2 * (-3) = -3x^2
3. Вычитаем полученное произведение из исходного многочлена:
• (x^4 + 3x^3 - 21x^2 - 43x + 60) - (x^4 + 2x^3 - 3x^2) = (3x^3 - 2x^3) + (-21x^2 + 3x^2) - 43x + 60 = x^3 - 18x^2 - 43x + 60.
4. Теперь повторяем процесс. Делим x^3 на x^2, получаем x.
5. Умножаем x на делитель:
• x * x^2 = x^3
• x * 2x = 2x^2
• x * (-3) = -3x
6. Вычитаем:
• (x^3 - 18x^2 - 43x + 60) - (x^3 + 2x^2 - 3x) = (-18x^2 - 2x^2) + (-43x + 3x) + 60 = -20x^2 - 40x + 60.
7. Делим -20x^2 на x^2, получаем -20.
8. Умножаем -20 на делитель:
• -20 * x^2 = -20x^2
• -20 * 2x = -40x
• -20 * (-3) = 60.
9. Вычитаем:
• (-20x^2 - 40x + 60) - (-20x^2 - 40x + 60) = 0.

Таким образом, результат деления: x^2 + x - 20 и остаток 0.

2) Остаток от деления многочлена x^4 + x^3 + 7x^2 + x + 3 на двучлен x - 2.

Для нахождения остатка от деления многочлена на двучлен можно использовать теорему о остатке. Остаток равен значению многочлена в точке, равной корню двучлена.

Корень двучлена x - 2 равен 2. Подставим x = 2 в многочлен:

• x^4 + x^3 + 7x^2 + x + 3 = 2^4 + 2^3 + 7 * 2^2 + 2 + 3 = 16 + 8 + 28 + 2 + 3 = 57.

Таким образом, остаток от деления равен 57.

3) Решение уравнения 2x^3 - x^2 - 13x - 6 = 0.

Для решения уравнения воспользуемся методом подбора рациональных корней. Проверим возможные значения:

• Подставляем x = -3:
• 2(-3)^3 - (-3)^2 - 13(-3) - 6 = -54 - 9 + 39 - 6 = -30 (не корень).
• Подставляем x = -1:
• 2(-1)^3 - (-1)^2 - 13(-1) - 6 = -2 - 1 + 13 - 6 = 4 (не корень).
• Подставляем x = 1:
• 2(1)^3 - (1)^2 - 13(1) - 6 = 2 - 1 - 13 - 6 = -18 (не корень).
• Подставляем x = 2:
• 2(2)^3 - (2)^2 - 13(2) - 6 = 16 - 4 - 26 - 6 = -20 (не корень).
• Подставляем x = -2:
• 2(-2)^3 - (-2)^2 - 13(-2) - 6 = -16 - 4 + 26 - 6 = 0 (корень).

Теперь мы знаем, что x = -2 является корнем. Разделим многочлен на (x + 2) и найдем другие корни. После деления получим:

2x^2 - 5x - 3 = 0. Решим это квадратное уравнение по формуле:

• x = [5 ± √(25 + 24)] / 4 = [5 ± 7] / 4.
• Корни: x1 = 3, x2 = -0.5.

Таким образом, корни уравнения: x = -2, x = 3, x = -0.5.

4) Возведение в степень (x + 3)/4.

Для возведения в степень воспользуемся свойством дробей:

(x + 3)/4 в степени n = (x + 3)^n / 4^n. Например, если нужно возвести в квадрат:

• ((x + 3)/4)^2 = (x + 3)^2 / 16 = (x^2 + 6x + 9) / 16.

Таким образом, результат зависит от степени, в которую возводим.

5) Решение уравнения (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) = 168x^2.

Раскроем левую часть уравнения. Умножим (x + 1)(x + 2) и (x + 3)(x + 6):

• (x^2 + 3x + 2)(x^2 + 9x + 18).

Теперь раскроем скобки:

• x^4 + 12x^3 + 41x^2 + 54x + 36 = 168x^2.

Переносим все в одну сторону:

• x^4 + 12x^3 - 127x^2 + 54x + 36 = 0.

Далее можно использовать методы поиска корней, например, метод подбора или численные методы для нахождения корней.

6) Решение системы уравнений:

Система:

• 2x^2 - 3xy + 2y^2 = 4,
• 2x^2 + 3y^2 = 14.

Из второго уравнения выразим y^2:

• y^2 = (14 - 2x^2)/3.

Подставим это значение во второе уравнение:

• 2x^2 - 3x * √((14 - 2x^2)/3) + 2 * (14 - 2x^2)/3 = 4.

Решив это уравнение, получим значения x, а затем подставим их в одно из уравнений, чтобы найти соответствующие значения y.

Таким образом, решение системы требует дальнейших вычислений.