Давайте сначала решим первое уравнение, чтобы найти корни \(x_1\) и \(x_2\) уравнения \(x^2 + x - 3 = 0\).

Для нахождения корней квадратного уравнения используем формулу корней:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

В нашем случае:

• a = 1
• b = 1
• c = -3

Теперь подставим значения в формулу:

x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1}

Сначала вычислим дискриминант:

D = 1 + 12 = 13

Теперь подставим дискриминант обратно в формулу:

x = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}

Таким образом, корни уравнения:

• x_1 = \frac{-1 + \sqrt{13}}{2}
• x_2 = \frac{-1 - \sqrt{13}}{2}

Теперь нам нужно найти значение выражения \frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2}. Это можно упростить:

\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{x_2^2 + x_1^2}{x_1^2 x_2^2}

Сначала найдем x_1^2 + x_2^2. Существует формула:

x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2

По теореме Виета, у нас:

• x_1 + x_2 = -b/a = -1
• x_1 x_2 = c/a = -3

Теперь подставим значения:

x_1^2 + x_2^2 = (-1)^2 - 2(-3) = 1 + 6 = 7

Теперь найдем x_1^2 x_2^2: это равно (x_1 x_2)^2 = (-3)^2 = 9.

Теперь подставим все обратно в выражение:

\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{7}{9}.

Теперь давайте перейдем ко второму уравнению, чтобы найти значение выражения \frac{3x_1x_2}{x_1+x_2} для уравнения \(9x^2 + 3x - 1 = 0\).

Снова воспользуемся формулой корней:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

В нашем случае:

• a = 9
• b = 3
• c = -1

Подставим значения:

x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-1)}}{2 \cdot 9}

Вычислим дискриминант:

D = 9 + 36 = 45

Теперь подставим обратно в формулу:

x = \frac{-3 \pm 3\sqrt{5}}{18} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{6}

Теперь найдем корни:

• x_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{6}
• x_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{6}

Теперь используем теорему Виета:

• x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{3}{9} = -\frac{1}{3}
• x_1 x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-1}{9}

Теперь подставим эти значения в выражение \frac{3x_1x_2}{x_1+x_2}:

\frac{3 \cdot \left(-\frac{1}{9}\right)}{-\frac{1}{3}} = \frac{-\frac{3}{9}}{-\frac{1}{3}} = \frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{1}{3}} = 1

Таким образом, ответ на второе выражение равен 1.

Итак, мы нашли значения для обоих выражений:

• Для первого выражения: \frac{7}{9}
• Для второго выражения: 1