Задача 2: Найдите координаты вектора a + 3b, если a(-1; -2), b(2; 2).

Для решения этой задачи нам нужно сначала найти вектор 3b, а затем сложить его с вектором a.

1. Вектор b имеет координаты (2; 2). Умножим его на 3:
• 3b = 3 * (2; 2) = (3*2; 3*2) = (6; 6).
2. Теперь сложим вектор a и вектор 3b:
• a + 3b = (-1; -2) + (6; 6) = (-1 + 6; -2 + 6) = (5; 4).

Таким образом, координаты вектора a + 3b равны (5; 4).

Задача 3: В треугольнике ABC, BC=12см, AC=5см и ∠C=90°. Вычислите скалярное произведение векторов AB · AC.

Поскольку угол C является прямым, мы можем использовать свойства прямоугольного треугольника для нахождения длины стороны AB.

1. Сначала найдем длину стороны AB, используя теорему Пифагора:
• AB^2 = AC^2 + BC^2
• AB^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169
• AB = √169 = 13 см.
2. Теперь найдем скалярное произведение векторов AB и AC. Скалярное произведение можно вычислить как:
• AB · AC = |AB| * |AC| * cos(∠CAB),
• где |AB| = 13 см, |AC| = 5 см, а cos(∠CAB) = 0, так как угол C прямой.
3. Следовательно:
• AB · AC = 13 * 5 * 0 = 0.

Таким образом, скалярное произведение векторов AB и AC равно 0.

Задача 4: Вычислите косинус наибольшего угла треугольника ABC, если известны координаты.

Для нахождения косинуса наибольшего угла в треугольнике ABC нам нужно знать длины всех сторон треугольника. Мы уже нашли длину AB, теперь нам нужно найти длину AC и BC, а затем использовать формулу косинуса угла.

1. Пусть A(0; 0), B(13; 0), C(0; 5). Тогда:
• |AC| = 5, |BC| = 12, |AB| = 13.
2. Теперь используем формулу косинуса для наибольшего угла, который будет против самой длинной стороны (в данном случае AB):
• cos(∠C) = (AC^2 + BC^2 - AB^2) / (2 * AC * BC).
• cos(∠C) = (5^2 + 12^2 - 13^2) / (2 * 5 * 12).
• cos(∠C) = (25 + 144 - 169) / (120) = 0.

Таким образом, косинус наибольшего угла треугольника ABC равен 0, что соответствует прямому углу.