20. Решите уравнение x^4 = (2x - 8)^2.

Начнем с того, что у нас есть уравнение:

x^4 = (2x - 8)^2.

Сначала раскроим квадрат:

(2x - 8)^2 = 4x^2 - 32x + 64.

Теперь подставим это в уравнение:

x^4 = 4x^2 - 32x + 64.

Переносим все члены в одну сторону:

x^4 - 4x^2 + 32x - 64 = 0.

Теперь мы можем попробовать решить это уравнение. Это уравнение четвертой степени, и его можно решить, используя различные методы, такие как факторизация или численные методы. Однако, для начала, давайте попытаемся найти корни.

Предположим, что x = 4 является решением:

4^4 - 4*4^2 + 32*4 - 64 = 256 - 64 + 128 - 64 = 256 - 64 = 192, что не равно 0.

Теперь попробуем x = 2:

2^4 - 4*2^2 + 32*2 - 64 = 16 - 16 + 64 - 64 = 0.

Таким образом, x = 2 является корнем. Теперь мы можем разделить полином на (x - 2):

Используя деление многочленов, мы можем получить:

(x - 2)(x^3 + 2x^2 + 32) = 0.

Теперь мы можем решить x^3 + 2x^2 + 32 = 0. Это уравнение не имеет действительных корней, так как дискриминант отрицательный. Таким образом, единственный корень уравнения x^4 = (2x - 8)^2 - это x = 2.

21. Найдите длину поезда в метрах.

Для решения этой задачи сначала найдем, сколько метров поезд проезжает за 30 секунд.

Скорость поезда: 75 км/ч. Переведем это значение в метры в секунду:

• 75 км/ч = 75 * 1000 м / 3600 с = 20.83 м/с.

Теперь найдем расстояние, которое поезд проходит за 30 секунд:

• Расстояние = скорость * время = 20.83 м/с * 30 с = 625 м.

Так как пешеход движется навстречу поезду со скоростью 3 км/ч (или 0.83 м/с), расстояние, которое он проходит за 30 секунд:

• 0.83 м/с * 30 с = 24.9 м.

Следовательно, длина поезда будет равна расстоянию, которое он прошел, минус расстояние, которое прошел пешеход:

• 625 м - 24.9 м = 600.1 м.

Ответ: длина поезда составляет 600.1 метра.

22. Постройте график функции y = (4x-5)/(4x^2 - 5x).

Чтобы построить график функции, сначала найдем нули функции:

Нули функции находятся, когда числитель равен нулю:

4x - 5 = 0, отсюда x = 5/4.

Теперь найдем, когда функция неопределена, то есть когда знаменатель равен нулю:

4x^2 - 5x = 0 => x(4x - 5) = 0, отсюда x = 0 или x = 5/4.

Теперь мы можем построить график. Для определения значений k, при которых прямая y = kx имеет одну общую точку с графиком, мы можем приравнять:

(4x - 5)/(4x^2 - 5x) = kx.

Переписываем уравнение:

4x - 5 = kx(4x^2 - 5x).

Это уравнение будет иметь одну общую точку, когда дискриминант равен нулю. Найдем его и решим уравнение для k.

23. Найдите углы ромба.

Рассмотрим ромб ABCD с диагоналями AC и BD, которые пересекаются в точке O. У нас есть информация, что расстояние от точки O до одной из сторон равно 15, а одна из диагоналей равна 60.

Поскольку ромб имеет равные стороны, диагонали пересекаются под прямым углом и делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. Таким образом, мы можем найти длины половин диагоналей:

AO = CO = 30 (половина диагонали AC).

Теперь, используя теорему Пифагора, найдем длину половины диагонали BD:

OB^2 + AO^2 = AB^2.

Пусть OB = x. Тогда:

x^2 + 30^2 = AB^2.

Также, поскольку расстояние от O до стороны равно 15, мы можем выразить это через высоту треугольника: h = (1/2)*BD. Таким образом, h = 15, и BD = 30.

Теперь у нас есть все необходимые данные для нахождения углов ромба через тригонометрические функции.

24. Докажите, что треугольники CBD и ADB подобны.

Для доказательства подобия треугольников CBD и ADB воспользуемся критерием подобия треугольников по углам.

Треугольники CBD и ADB имеют общий угол B. Также, угол C в треугольнике CBD равен углу D в треугольнике ADB, так как они являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных линий AD и BC.

Таким образом, треугольники CBD и ADB имеют два равных угла, что по критерию подобия треугольников означает, что треугольники подобны.

Следовательно, мы доказали, что треугольники CBD и ADB подобны.