Давайте разберем функцию y = ctg(2x/5) и найдем ее область определения, а также наименьший положительный период.

1. Область определения функции:

Функция котангенса (ctg) определена для всех значений, кроме тех, где синус равен нулю, так как cotg(x) = cos(x)/sin(x). Таким образом, необходимо найти, при каких значениях аргумента 2x/5 синус равен нулю.

Синус равен нулю при:

• 2x/5 = kπ, где k - целое число.

Теперь выразим x:

1. Умножим обе стороны на 5: 2x = 5kπ.
2. Разделим обе стороны на 2: x = (5kπ)/2.

Таким образом, функция y = ctg(2x/5) не определена в точках x = (5kπ)/2, где k - любое целое число.

Следовательно, область определения функции:

x ∈ R, x ≠ (5kπ)/2, k ∈ Z.

2. Наименьший положительный период функции:

Период функции котангенса равен π. Однако в нашей функции аргумент изменился: вместо x у нас 2x/5.

Чтобы найти период функции y = ctg(2x/5), мы используем формулу для нахождения периода:

• Если f(x) имеет период T, то f(kx) имеет период T/k.

В нашем случае:

• T = π (период ctg(x)),
• k = 2/5 (так как аргумент 2x/5).

Теперь находим новый период:

1. Новый период = π / (2/5) = π * (5/2) = 5π/2.

Таким образом, наименьший положительный период функции y = ctg(2x/5) равен 5π/2.

Итак, итоговые ответы:

• Область определения: x ∈ R, x ≠ (5kπ)/2, k ∈ Z.
• Наименьший положительный период: 5π/2.