Задача 4: Найдите длины сторон прямоугольного параллелепипеда и вычислите площадь его полной поверхности.

Дано соотношение сторон прямоугольного параллелепипеда 3:5:7 и длина диагонали 2√83 см. Обозначим стороны параллелепипеда как:

• a = 3k
• b = 5k
• c = 7k

Где k - это коэффициент пропорциональности.

Теперь мы можем воспользоваться формулой для вычисления диагонали прямоугольного параллелепипеда:

D = √(a² + b² + c²).

Подставим наши значения:

D = √((3k)² + (5k)² + (7k)²) = √(9k² + 25k² + 49k²) = √(83k²) = √83 * k.

Согласно условию, D = 2√83 см. Сравнивая обе стороны, мы получаем:

√83 * k = 2√83.

Теперь делим обе стороны уравнения на √83:

k = 2.

Теперь подставим значение k в формулы для сторон:

• a = 3 * 2 = 6 см,
• b = 5 * 2 = 10 см,
• c = 7 * 2 = 14 см.

Таким образом, длины сторон параллелепипеда равны 6 см, 10 см и 14 см.

Теперь найдем площадь полной поверхности параллелепипеда. Площадь полной поверхности S вычисляется по формуле:

S = 2(ab + ac + bc).

Подставим значения:

S = 2(6 * 10 + 6 * 14 + 10 * 14) = 2(60 + 84 + 140) = 2 * 284 = 568 см².

Ответ: Длины сторон параллелепипеда: 6 см, 10 см, 14 см. Площадь полной поверхности: 568 см².

Задача 5: Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды.

В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 13 см, 14 см и 15 см. Сначала найдем площадь этого треугольника, используя формулу Герона:

• Полупериметр p = (a + b + c) / 2 = (13 + 14 + 15) / 2 = 21 см.
• Площадь S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)) = √(21 * (21 - 13) * (21 - 14) * (21 - 15)) = √(21 * 8 * 7 * 6).

Теперь посчитаем:

S = √(21 * 8 * 7 * 6) = √(7056) = 84 см².

Теперь, чтобы найти площадь боковой поверхности пирамиды, нам нужно знать высоту боковых граней. Так как боковые грани наклонены под углом 30°, мы можем использовать тригонометрию:

Высота боковой грани h = (1/2) * (основание) / tan(30°).

Сначала найдем высоту боковой грани для каждой стороны основания:

• h₁ для стороны 13 см: h₁ = (1/2) * 13 / (√3/3) = 13√3/2 см.
• h₂ для стороны 14 см: h₂ = (1/2) * 14 / (√3/3) = 14√3/2 см.
• h₃ для стороны 15 см: h₃ = (1/2) * 15 / (√3/3) = 15√3/2 см.

Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности, используя формулу:

Площадь боковой поверхности = (1/2) * (периметр основания) * h.

Периметр основания = 13 + 14 + 15 = 42 см.

Площадь боковой поверхности = (1/2) * 42 * (h₁ + h₂ + h₃) = (1/2) * 42 * (13√3/2 + 14√3/2 + 15√3/2).

Считаем:

Площадь боковой поверхности = 21 * (42√3/2) = 21 * 21√3 = 441√3 см².

Ответ: Площадь боковой поверхности пирамиды: 441√3 см².