Чтобы найти точки, в которых касательные к графикам функций f(x) и g(x) будут параллельны, необходимо, чтобы производные этих функций в соответствующих точках были равны. Это связано с тем, что производная функции в точке показывает наклон касательной к графику функции в этой точке.

Следует выполнить следующие шаги для каждой пары функций:

1. Найти производные функций f(x) и g(x).
2. Приравнять производные друг к другу, чтобы найти значения x, для которых наклоны касательных равны.
3. Подставить найденные значения x в исходные функции, чтобы найти соответствующие y-координаты точек.

Теперь давайте рассмотрим каждую пару функций по очереди:

1. f(x) = 3x^2 - 5x + 4, g(x) = 4x - 5

• f'(x) = 6x - 5
• g'(x) = 4
• Приравниваем: 6x - 5 = 4
• Решаем: 6x = 9, x = 1.5
• Находим y: f(1.5) = 3(1.5)^2 - 5(1.5) + 4 = 2.25 - 7.5 + 4 = -1.25
• Точка: (1.5, -1.25)

2. f(x) = 8x + 9, g(x) = -5x + 8

• f'(x) = 8
• g'(x) = -5
• Касательные не могут быть параллельны, так как производные разные.

3. f(x) = 7x + 11, g(x) = 7x - 9

• f'(x) = 7
• g'(x) = 7
• Касательные параллельны для любого x.

4. f(x) = x^3 - 8, g(x) = x^2 + 5

• f'(x) = 3x^2
• g'(x) = 2x
• Приравниваем: 3x^2 = 2x
• Решаем: 3x^2 - 2x = 0, x(3x - 2) = 0, x = 0 или x = 2/3
• Находим y для x = 0: f(0) = -8; y для x = 2/3: f(2/3) = (2/3)^3 - 8 = 8/27 - 8 = -224/27
• Точки: (0, -8) и (2/3, -224/27)

5. f(x) = x^3 + x^2, g(x) = 5x - 7

• f'(x) = 3x^2 + 2x
• g'(x) = 5
• Приравниваем: 3x^2 + 2x = 5
• Решаем: 3x^2 + 2x - 5 = 0. Используем дискриминант: D = 2^2 - 4*3*(-5) = 4 + 60 = 64
• Корни: x = (-2 ± 8) / 6. Получаем x = 1 и x = -5/3.
• Находим y для x = 1: f(1) = 1 + 1 = 2; для x = -5/3: f(-5/3) = (-5/3)^3 + (-5/3)^2 = -125/27 + 25/9 = -125/27 + 75/27 = -50/27
• Точки: (1, 2) и (-5/3, -50/27)

6. f(x) = x^4 + 11, g(x) = x^3 + 10

• f'(x) = 4x^3
• g'(x) = 3x^2
• Приравниваем: 4x^3 = 3x^2
• Решаем: x^2(4x - 3) = 0, x = 0 или x = 3/4.
• Находим y для x = 0: f(0) = 11; для x = 3/4: f(3/4) = (3/4)^4 + 11 = 81/256 + 11 = 2816/256 + 81/256 = 2897/256
• Точки: (0, 11) и (3/4, 2897/256)

Таким образом, мы нашли все точки, в которых касательные к графикам функций будут параллельны.