2025-11-02 05:52:10
5. Какова площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x)=4-0,6x^2, касательной к ней в точке с абсциссой x0= -1 и прямой x=1?
Алгебра 11 класс Площадь фигуры, ограниченной графиком функции и касательной площадь фигуры график функции касательная алгебра 11 функция f(x) точка касания прямая x=1 абсцисса x0=-1 Новый
2025-11-02 05:52:35
Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиком функции f(x) = 4 - 0,6x², касательной к ней в точке с абсциссой x0 = -1 и прямой x = 1, нам нужно выполнить несколько шагов.
Шаг 1: Найдем значение функции в точке x0 = -1.Подставим x = -1 в функцию:
f(-1) = 4 - 0,6(-1)² = 4 - 0,6 = 3,4.
Шаг 2: Найдем производную функции f(x).Для нахождения касательной нам нужна производная функции:
f'(x) = -1,2x.
Шаг 3: Найдем значение производной в точке x0 = -1.Подставим x = -1:
f'(-1) = -1,2(-1) = 1,2.
Шаг 4: Запишем уравнение касательной.Уравнение касательной в точке (x0, f(x0)) имеет вид:
y - f(x0) = f'(x0)(x - x0).
Подставим известные значения:
y - 3,4 = 1,2(x + 1).
Упростим уравнение:
y = 1,2x + 1,2 + 3,4 = 1,2x + 4,6.
Шаг 5: Найдем точки пересечения касательной с прямой x = 1.Подставим x = 1 в уравнение касательной:
y = 1,2(1) + 4,6 = 1,2 + 4,6 = 5,8.
Таким образом, точка пересечения касательной с прямой x = 1 будет (1, 5,8).
Шаг 6: Найдем площадь фигуры.Площадь ограниченной фигуры можно найти, вычислив определенный интеграл от функции f(x) и от касательной от x = -1 до x = 1:
Площадь = Интеграл от (касательная - f(x)) по dx от -1 до 1.
Шаг 7: Запишем интеграл.Площадь = Интеграл от (-1 до 1) (1,2x + 4,6 - (4 - 0,6x²)) dx.
Упростим подынтегральное выражение:
1,2x + 4,6 - 4 + 0,6x² = 0,6x² + 1,2x + 0,6.
Шаг 8: Вычислим интеграл.Теперь найдем интеграл:
Интеграл (0,6x² + 1,2x + 0,6) dx = (0,6/3)x³ + (1,2/2)x² + 0,6x = 0,2x³ + 0,6x² + 0,6x.
Шаг 9: Подставим пределы интегрирования.Теперь подставим пределы от -1 до 1:
Площадь = [0,2(1)³ + 0,6(1)² + 0,6(1)] - [0,2(-1)³ + 0,6(-1)² + 0,6(-1)].
Посчитаем:
- Для x = 1: 0,2*1 + 0,6*1 + 0,6*1 = 0,2 + 0,6 + 0,6 = 1,4.
- Для x = -1: 0,2*(-1) + 0,6*1 - 0,6 = -0,2 + 0,6 - 0,6 = -0,2.
Теперь вычислим разность:
Площадь = 1,4 - (-0,2) = 1,4 + 0,2 = 1,6.
Ответ: Площадь фигуры, ограниченной графиком функции и касательной, равна 1,6.