Для решения данной задачи, давайте рассмотрим каждую часть отдельно.

Необходимо найти остаток от деления выражения n^2 + 4n на 6, если при делении n на 6 в остатке получается 3.

• Поскольку n при делении на 6 дает остаток 3, мы можем выразить n как: n = 6k + 3, где k - это некоторое натуральное число.
• Теперь подставим это выражение в n^2 + 4n:
• n^2 = (6k + 3)^2 = 36k^2 + 36k + 9
• 4n = 4(6k + 3) = 24k + 12
• Теперь сложим оба выражения:
• n^2 + 4n = (36k^2 + 36k + 9) + (24k + 12) = 36k^2 + 60k + 21
• Теперь найдем остаток от деления на 6:
• 36k^2 делится на 6 без остатка.
• 60k также делится на 6 без остатка.
• 21 при делении на 6 дает остаток 3 (поскольку 21 = 6 * 3 + 3).

Таким образом, остаток от деления n^2 + 4n на 6 равен 3.

Теперь найдем остаток от деления выражения n^2 + 2n на 8, если при делении n на 8 в остатке получается 3.

• Поскольку n при делении на 8 дает остаток 3, мы можем выразить n как: n = 8m + 3, где m - это некоторое натуральное число.
• Подставим это выражение в n^2 + 2n:
• n^2 = (8m + 3)^2 = 64m^2 + 48m + 9
• 2n = 2(8m + 3) = 16m + 6
• Теперь сложим оба выражения:
• n^2 + 2n = (64m^2 + 48m + 9) + (16m + 6) = 64m^2 + 64m + 15
• Теперь найдем остаток от деления на 8:
• 64m^2 делится на 8 без остатка.
• 64m также делится на 8 без остатка.
• 15 при делении на 8 дает остаток 7 (поскольку 15 = 8 * 1 + 7).

Таким образом, остаток от деления n^2 + 2n на 8 равен 7.

В итоге, мы получили:

• Остаток от деления n^2 + 4n на 6 равен 3.
• Остаток от деления n^2 + 2n на 8 равен 7.