Чтобы найти область определения функции f(x) = ( (x^2 - 5x + 4) / x )^(7/9) + (x^2 - 1)^(-2/7), необходимо рассмотреть каждую часть функции отдельно и определить, при каких значениях x они определены.

• Сначала рассмотрим дробь (x^2 - 5x + 4) / x. Чтобы дробь была определена, знаменатель не должен равняться нулю. То есть, x ≠ 0.
• Теперь найдем корни числителя x^2 - 5x + 4. Для этого решим уравнение:
1. x^2 - 5x + 4 = 0
2. Корни уравнения можно найти по формуле: x = (b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -5, c = 4.
3. Дискриминант D = (-5)² - 4 * 1 * 4 = 25 - 16 = 9. Корни: x1 = (5 + 3) / 2 = 4 и x2 = (5 - 3) / 2 = 1.
• Таким образом, числитель x^2 - 5x + 4 равен нулю при x = 1 и x = 4. Это означает, что дробь будет равна нулю в этих точках, но мы можем взять 0 в степени 7/9. Следовательно, эта часть функции определена для всех x, кроме x = 0.

• Теперь рассмотрим вторую часть функции (x^2 - 1)^(-2/7). Чтобы эта часть была определена, необходимо, чтобы x^2 - 1 не равнялось нулю, так как мы не можем делить на ноль.
• Решим уравнение x^2 - 1 = 0:
1. x^2 = 1
2. x = ±1.
• Таким образом, эта часть функции не определена при x = 1 и x = -1.

Теперь мы объединим условия, найденные для обеих частей функции:

• x ≠ 0 (из первой части)
• x ≠ 1 (из второй части)
• x ≠ -1 (из второй части)
• x ≠ 4 (числитель первой части равен нулю, но это не критично для определения)

Таким образом, область определения функции f(x) будет: