Дам 35 баллов!!!

Прошу, помогите решить!

Как определить максимальные и минимальные значения функции y = √(2x² + 5x - 7) на интервале [3; 4]?

Алгебра 11 класс Оптимизация функций максимальные значения функции минимальные значения функции алгебра 11 класс интервал [3; 4] решение задачи алгебры Новый

Чтобы определить максимальные и минимальные значения функции y = √(2x² + 5x - 7) на заданном интервале [3; 4], необходимо выполнить несколько шагов. Рассмотрим их подробно.

Шаг 1: Определение области определения функции

Сначала нужно убедиться, что подкоренное выражение 2x² + 5x - 7 не отрицательно, так как функция y определена только для неотрицательных значений. Для этого решим неравенство:

• 2x² + 5x - 7 ≥ 0

Найдем корни квадратного уравнения 2x² + 5x - 7 = 0 с помощью дискриминанта:

• D = b² - 4ac = 5² - 4 * 2 * (-7) = 25 + 56 = 81
• Корни: x₁ = (-b + √D) / (2a) = (-5 + 9) / 4 = 1, x₂ = (-b - √D) / (2a) = (-5 - 9) / 4 = -3.5

Таким образом, функция определена на промежутках (-∞; -3.5] и [1; +∞). Поскольку интервал [3; 4] попадает в область определения, мы можем продолжить анализ.

Шаг 2: Нахождение производной

Для нахождения экстремумов функции необходимо вычислить её производную и найти критические точки:

y = (2x² + 5x - 7)^(1/2)

Используем правило дифференцирования:

• y' = (1/2)(2x² + 5x - 7)^(-1/2) * (4x + 5)

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

• (4x + 5) = 0
• x = -5/4 = -1.25

Эта точка не лежит в интервале [3; 4], поэтому мы будем исследовать только концы интервала.

Шаг 3: Вычисление значений функции на концах интервала

Теперь найдем значения функции y на концах интервала:

• y(3) = √(2(3)² + 5(3) - 7) = √(18 + 15 - 7) = √26
• y(4) = √(2(4)² + 5(4) - 7) = √(32 + 20 - 7) = √45

Шаг 4: Сравнение значений

Теперь сравним полученные значения:

• y(3) = √26 ≈ 5.1
• y(4) = √45 ≈ 6.7

Вывод

На интервале [3; 4] минимальное значение функции y достигается в точке x = 3 и равно √26, а максимальное значение достигается в точке x = 4 и равно √45.