Давайте разберем каждую из задач по порядку.

1. Геометрическая прогрессия: b₁ = 32; q = 1/4. Найдите S₅.

Сумма первых n членов геометрической прогрессии рассчитывается по формуле:

Sₙ = b₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q), где b₁ - первый член, q - знаменатель прогрессии, n - количество членов.

1. Подставим известные значения:
2. S₅ = 32 * (1 - (1/4)⁵) / (1 - 1/4)
3. Вычислим (1/4)⁵ = 1/1024.
4. Теперь S₅ = 32 * (1 - 1/1024) / (3/4) = 32 * (1023/1024) / (3/4).
5. Упрощаем: S₅ = 32 * (1023/1024) * (4/3) = 32 * 1023 / 768 = 136.5.

Ответ: S₅ = 136.5.

2. Геометрическая прогрессия: 3; 6; .... Найдите S₆.

Первый член b₁ = 3, второй член b₂ = 6, значит q = b₂ / b₁ = 6 / 3 = 2.

Теперь используем формулу для суммы:

1. S₆ = 3 * (1 - 2⁶) / (1 - 2)
2. Вычислим 2⁶ = 64.
3. Теперь S₆ = 3 * (1 - 64) / (-1) = 3 * (-63) / (-1) = 189.

Ответ: S₆ = 189.

3. Геометрическая прогрессия: b₃ = 12; q = -2. Найдите b₁ и S₇.

Сначала найдем b₁. Поскольку b₃ = b₁ * q², то:

1. 12 = b₁ * (-2)² = b₁ * 4.
2. Следовательно, b₁ = 12 / 4 = 3.

Теперь найдем S₇:

1. S₇ = b₁ * (1 - q⁷) / (1 - q) = 3 * (1 - (-2)⁷) / (1 - (-2)) = 3 * (1 + 128) / 3 = 129.

Ответ: b₁ = 3, S₇ = 129.

4. Геометрическая прогрессия: b₃ = 12, b₅ = 48. Найдите b₁, q и S₅.

Из условия b₅ = b₃ * q², значит:

1. 48 = 12 * q², отсюда q² = 48 / 12 = 4, значит q = 2 или q = -2.
2. Теперь найдем b₁. Из b₃ = b₁ * q², получаем b₁ = b₃ / q² = 12 / 4 = 3.

Теперь найдем S₅:

1. S₅ = b₁ * (1 - q⁵) / (1 - q) = 3 * (1 - 32) / (1 - 2) = 3 * (-31) / (-1) = 93.

Ответ: b₁ = 3, q = 2 (или -2), S₅ = 93.

5. Решите квадратное уравнение: x² - 8x + 25 = 0.

Для решения уравнения используем дискриминант:

1. D = b² - 4ac = (-8)² - 4 * 1 * 25 = 64 - 100 = -36.
2. Поскольку D < 0, уравнение не имеет действительных корней, но имеет два комплексных корня.
3. Корни находятся по формуле: x = (−b ± √D) / 2a = (8 ± √(-36)) / 2 = (8 ± 6i) / 2 = 4 ± 3i.

Ответ: x₁ = 4 + 3i, x₂ = 4 - 3i.

6. Даны комплексные числа: z₁ = 2 - 7i; z₂ = -1 + 3i. Найдите: z₁ + z₂, z₁ - z₂, z₂ - z₁, z₁ ⋅ z₂, z₁ / z₂.

1. z₁ + z₂ = (2 - 7i) + (-1 + 3i) = 2 - 1 - 7i + 3i = 1 - 4i.
2. z₁ - z₂ = (2 - 7i) - (-1 + 3i) = 2 + 1 - 7i - 3i = 3 - 10i.
3. z₂ - z₁ = (-1 + 3i) - (2 - 7i) = -1 - 2 + 3i + 7i = -3 + 10i.
4. z₁ ⋅ z₂ = (2 - 7i)(-1 + 3i) = -2 + 6i + 7i - 21i² = -2 + 13i + 21 = 19 + 13i.
5. z₁ / z₂ = (2 - 7i) / (-1 + 3i). Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю (-1 - 3i): (2 - 7i)(-1 - 3i) / ((-1 + 3i)(-1 - 3i)) = (2 + 6i + 7 - 21i) / (1 + 9) = (9 - 15i) / 10 = 0.9 - 1.5i.

Ответы:

• z₁ + z₂ = 1 - 4i
• z₁ - z₂ = 3 - 10i
• z₂ - z₁ = -3 + 10i
• z₁ ⋅ z₂ = 19 + 13i
• z₁ / z₂ = 0.9 - 1.5i