Рассмотрим векторы m и n, которые заданы как:

• m = {5; -4; 6}
• n = {15; -12; р}

Для решения задачи нам нужно определить два случая: когда векторы коллинеарны и когда они перпендикулярны.

Векторы коллинеарны, если один из них является скалярным произведением другого. Это означает, что существует такое число k, что:

n = k * m.

Запишем это в виде системы уравнений:

• 15 = k * 5
• -12 = k * (-4)
• р = k * 6

Решим первое уравнение для k:

k = 15 / 5 = 3.

Теперь подставим значение k во второе уравнение:

-12 = 3 * (-4),

что верно.

Теперь подставим k в третье уравнение, чтобы найти р:

р = 3 * 6 = 18.

Таким образом, векторы m и n коллинеарны при р = 18.

Векторы m и n перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение векторов m и n вычисляется по формуле:

m * n = m1 * n1 + m2 * n2 + m3 * n3.

Подставим значения:

m * n = 5 * 15 + (-4) * (-12) + 6 * р.

Это уравнение равно нулю, если:

75 + 48 + 6р = 0.

Сложим 75 и 48:

123 + 6р = 0.

Теперь выразим р:

6р = -123,

р = -123 / 6 = -20.5.

Таким образом, векторы m и n перпендикулярны при р = -20.5.

Итак, подытожим:

• Векторы коллинеарны при р = 18.
• Векторы перпендикулярны при р = -20.5.