Для функции у = Sin4x, пожалуйста, ответьте на следующие вопросы:

• a) Какова область определения этой функции?
• b) Какова область значений этой функции?
• c) Каков наименьший положительный период функции?
• d) В каких промежутках функция убывает?
• e) В каких промежутках функция сохраняет знак?
• f) Является ли функция чётной или нечётной?

Алгебра 11 класс Исследование тригонометрических функций функция у = Sin4x область определения область значений наименьший положительный период промежутки убывания промежутки сохранения знака чётная или нечётная функция Новый

Рассмотрим функцию y = sin(4x). Давайте ответим на ваши вопросы по порядку.

a) Какова область определения этой функции?

Область определения функции y = sin(4x) включает все значения x, так как синус определён для всех действительных чисел. Таким образом, область определения:

• x ∈ R (все действительные числа)

b) Какова область значений этой функции?

Функция синуса принимает значения в диапазоне от -1 до 1. Поскольку мы имеем дело с функцией y = sin(4x), область значений остаётся такой же:

• y ∈ [-1, 1]

c) Каков наименьший положительный период функции?

Период функции синуса равен 2π. Для функции y = sin(4x) период будет равен 2π, делённому на коэффициент при x, который равен 4:

• Период = 2π / 4 = π / 2

d) В каких промежутках функция убывает?

Функция синуса убывает на промежутках, где её производная отрицательна. Производная функции y = sin(4x) равна 4cos(4x). Таким образом, мы ищем, где cos(4x) < 0:

• cos(4x) < 0, когда 4x находится в интервалах (π/2 + kπ, 3π/2 + kπ), где k – целое число.
• Следовательно, x находится в интервалах: (π/8 + kπ/4, 3π/8 + kπ/4).

e) В каких промежутках функция сохраняет знак?

Функция y = sin(4x) сохраняет знак в тех промежутках, где она не меняет знак. Синус положителен в интервалах:

• (0 + k2π, π + k2π), где k – целое число (положительные значения).
• Синус отрицателен в интервалах:
• (π + k2π, 2π + k2π), где k – целое число (отрицательные значения).

f) Является ли функция чётной или нечётной?

Функция y = sin(4x) является нечётной, так как выполняется следующее свойство:

• y(-x) = sin(4(-x)) = sin(-4x) = -sin(4x) = -y(x).

Таким образом, функция является нечётной.