2025-10-31 07:42:57
Доказать равенства при x стремящемся к 0:
- а) o(x^2) + o(x^2) = o(x^2);
- б) c · o(x) = o(x), если c — постоянная;
- в) o(x^2) + o(x) = o(x);
- г) o(x^2 + o(x^2)) = o(x^2);
- д) o(x) + x^2 = o(x);
- е) (x + o(x))^2 = x^2 + o(x^2);
- ж) (x + o(x))(x^2/2 + o(x^2)) = x^3/2 + o(x^3);
- з) √(x^2 + o(x^2)) = |x| + o(x);
- и) e^(x + o(x)) = 1 + x + o(x).
Алгебра 11 класс Асимптотический анализ и малые бесконечности алгебра 11 класс пределы o-нотация доказательства равенств функции математический анализ предельные значения асимптотическое поведение Новый
2025-10-31 07:43:25
Давайте рассмотрим каждое из равенств по отдельности и докажем их, используя определения малых величин (o-нотации).
а) o(x^2) + o(x^2) = o(x^2)- По определению, если f(x) = o(x^2), то lim (x -> 0) f(x) / x^2 = 0.
- Пусть f(x) и g(x) - две функции, такие что f(x) = o(x^2) и g(x) = o(x^2).
- Тогда lim (x -> 0) (f(x) + g(x)) / x^2 = lim (x -> 0) (f(x) / x^2 + g(x) / x^2) = 0 + 0 = 0.
- Следовательно, f(x) + g(x) = o(x^2).
- По определению, f(x) = o(x) означает, что lim (x -> 0) f(x) / x = 0.
- Если g(x) = c · f(x), то lim (x -> 0) g(x) / x = lim (x -> 0) (c · f(x)) / x = c · lim (x -> 0) f(x) / x = c · 0 = 0.
- Следовательно, g(x) = o(x).
- Пусть f(x) = o(x^2) и g(x) = o(x).
- Тогда lim (x -> 0) f(x) / x = 0 и lim (x -> 0) g(x) / x = 0.
- Мы имеем: lim (x -> 0) (f(x) + g(x)) / x = lim (x -> 0) (f(x) / x + g(x) / x) = 0 + 0 = 0.
- Следовательно, f(x) + g(x) = o(x).
- По определению, o(x^2) означает, что при x стремящемся к 0, o(x^2) становится малым по сравнению с x^2.
- Таким образом, x^2 + o(x^2) стремится к x^2 при x -> 0.
- Следовательно, o(x^2 + o(x^2)) = o(x^2).
- Пусть f(x) = o(x) и g(x) = x^2.
- Тогда lim (x -> 0) f(x) / x = 0 и lim (x -> 0) g(x) / x = lim (x -> 0) x^2 / x = 0.
- Следовательно, f(x) + g(x) = o(x).
- Рассмотрим (x + f(x))^2, где f(x) = o(x).
- Тогда (x + f(x))^2 = x^2 + 2xf(x) + f(x)^2.
- Здесь 2xf(x) = o(x^2) и f(x)^2 = o(x^2) при x -> 0.
- Следовательно, (x + o(x))^2 = x^2 + o(x^2).
- Рассмотрим произведение: (x + f(x))(g(x) + o(g(x))), где g(x) = x^2/2.
- Тогда это будет равно x*g(x) + f(x)*g(x) + x*o(g(x)) + f(x)*o(g(x)).
- Поскольку f(x) = o(x) и g(x) = o(x^2), мы получаем, что все члены, кроме x^3/2, будут малые по сравнению с x^3.
- Следовательно, (x + o(x))(x^2/2 + o(x^2)) = x^3/2 + o(x^3).
- Рассмотрим выражение √(x^2 + f(x)), где f(x) = o(x^2).
- Тогда √(x^2 + f(x)) = |x|√(1 + f(x)/x^2).
- При x -> 0, f(x)/x^2 -> 0, и √(1 + f(x)/x^2) = 1 + o(1).
- Следовательно, √(x^2 + o(x^2)) = |x| + o(x).
- Используем разложение в ряд Тейлора: e^(x + f(x)) = e^x * e^(f(x)).
- Здесь e^x = 1 + x + x^2/2 + ... и e^(f(x)) = 1 + f(x) + o(f(x)).
- Таким образом, мы получаем: e^(x + o(x)) = (1 + x + o(x))(1 + o(1)) = 1 + x + o(x).
Таким образом, все равенства доказаны. Если у вас есть вопросы по какому-либо из шагов, не стесняйтесь спрашивать!