Докажите, что для любого целого n значение выражения (3n+1)² - (n-1)² делится на 8. Помогите, пожалуйста.

Алгебра 11 класс Доказательства свойств чисел алгебра 11 класс доказательство делимости целые числа выражение делимость на 8 Новый

Для доказательства того, что выражение (3n+1)² - (n-1)² делится на 8 для любого целого n, начнем с алгебраического преобразования данного выражения.

Рассмотрим выражение (3n + 1)² - (n - 1)². Это разность квадратов, которую можно представить в виде:

(a² - b²) = (a - b)(a + b)

В нашем случае:

• a = 3n + 1
• b = n - 1

Теперь найдем a - b и a + b:

• a - b = (3n + 1) - (n - 1) = 3n + 1 - n + 1 = 2n + 2
• a + b = (3n + 1) + (n - 1) = 3n + 1 + n - 1 = 4n

Теперь подставим эти выражения в формулу разности квадратов:

(3n + 1)² - (n - 1)² = (2n + 2)(4n)

Теперь упростим это произведение:

(2n + 2)(4n) = 8n(n + 1)

Обратите внимание, что 8n(n + 1) является произведением 8 и некоторого целого числа (n(n + 1)). Поскольку n(n + 1) всегда является целым числом, то и 8n(n + 1) делится на 8.

Таким образом, мы доказали, что для любого целого n значение выражения (3n + 1)² - (n - 1)² делится на 8.